e cần kết quả, tks m.n trước ạq

Question

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}max(x, tanx).dx$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 1/2/2014 9:50:01 PM

Trước hết ta chứng minh:

$\tan x>x,\forall x\in(0;\dfrac{\pi}{4})$ .

Xét hàm:

$f(x)=\tan x-x,x\in(0;\dfrac{\pi}{4})$

Ta có:

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x>0,\forall x\in(0;\dfrac{\pi}{4})$

Suy ra:

$f(x)$ đồng biến trên:

$(0;\dfrac{\pi}{4})$

$\Rightarrow f(x)>f(0)=0,\forall x\in(0;\dfrac{\pi}{4})$

Từ đó ta có:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\max(x,\tan x)dx$

$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\tan xdx$

$=-\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{d(\cos x)}{\cos x}$

$=-\ln(\cos x)\left|\begin{array}{l}\dfrac{\pi}{4}\\0\end{array}\right.=\dfrac{\ln 2}{2}$

Trả lời 02-01-14 09:50 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

tks nhiều ạq :'D – ... 02-01-14 09:54 PM

1 Đáp án