giúp mình với nha

Question

Cho 3 số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 9.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S=\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^3}{y^2+yz+z^2} +\frac{x^3}{z^2+xz+x^2} $

khangnguyenthanh · Answer 1 · 12/13/2013 7:42:01 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Đặt: $T=\dfrac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\dfrac{z^3}{x^2+xz+z^2}$

Ta có:

$S-T=\dfrac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y^3-z^3}{y^2+yz+z^2}+\dfrac{z^3-x^3}{x^2+xz+z^2}$

$=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$

Suy ra:

$2S=\dfrac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y^3+z^3}{y^2+yz+z^2}+\dfrac{z^3+x^3}{x^2+xz+z^2}$

Mà ta có:

$(x+y)(x-y)^2\ge0$

$\Leftrightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$

$\Leftrightarrow 3(x^3+y^3)\ge(x^2+xy+y^2)(x+y)$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}\ge\dfrac{x+y}{3}$

Tương tự: $\dfrac{y^3+z^3}{y^2+yz+z^2}\ge\dfrac{y+z}{3};\dfrac{x^3+z^3}{x^2+xz+z^2}\ge\dfrac{x+z}{3}$

Từ đó suy ra:

$S\ge\dfrac{x+y+z}{3}=3$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=3$

Trả lời 13-12-13 07:42 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

nhathuynh245 · Answer 2 · 12/12/2013 8:16:25 PM

Giải:
Do $x$, $y$$>$$0$, theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$2xy$$\leq $$x^2+y^2$
$\Rightarrow $$\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$$=$$\frac{2y^3}{2(x^2+y^2)+2xy}$$\geq $$\frac{2y^3}{3(x^2+y^2)}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}$$\geq $$\frac{2z^3}{3(y^2+z^2)}$
$\frac{x^3}{z^2+zx+x^2}$$\geq $$\frac{2x^3}{3(z^2+x^2)}$
$\Rightarrow$$\frac{3}{2}S$$\geq $$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$+$$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$+$$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$=$$A$ (đặt biểu thức)
Ta có:
$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$=$$\frac{y(x^2+y^2)-yx^2}{x^2+y^2}$$=$$y-\frac{yx^2}{x^2+y^2}$$\geq$$y-\frac{yx^2}{2yx}=$$y-\frac{x}{2}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$\geq $$z-\frac{y}{2}$
$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$\geq $$x-\frac{z}{2}$
$\Rightarrow $$A$$\geq $$\frac{x+y+z}{2}$$=$$\frac{9}{2}$
$\Rightarrow $$S$$\geq $$3$
Dấu bằng của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi $x=y=z$
Vậy: giá trị nhỏ nhất của $S=3$ xảy ra khi $x=y=z=3$