Đặt: T=x3x2+xy+y2+y3y2+yz+z2+z3x2+xz+z2
Ta có:
S−T=x3−y3x2+xy+y2+y3−z3y2+yz+z2+z3−x3x2+xz+z2
=(x−y)+(y−z)+(z−x)=0
Suy ra:
2S=x3+y3x2+xy+y2+y3+z3y2+yz+z2+z3+x3x2+xz+z2
Mà ta có:
(x+y)(x−y)2≥0
⇔x3+y3≥x2y+xy2
⇔3(x3+y3)≥(x2+xy+y2)(x+y)
⇔x3+y3x2+xy+y2≥x+y3
Tương tự: y3+z3y2+yz+z2≥y+z3;x3+z3x2+xz+z2≥x+z3
Từ đó suy ra:
S≥x+y+z3=3
Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=3