Điều kiện: $x>0$
Đặt $t=\sqrt{\log_3^2x+1},t\ge0$.
Với $x\in[1;3^{\sqrt3}]$ thì $t\in[1;2]$
Phương trình đã cho trờ thành:
$t^2-1+t-2m-1=0$
$\Leftrightarrow 2m=t^2+t-2 (*)$
Để phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm $x\in[1;3^{\sqrt3}]$ thì phương trình $(*)$ có ít nhất 1 nghiệm $t\in[1;2]$
Xét $f(t)=t^2+t-2,t\in[1;2]$
Ta có: $f'(t)=2t+1>0, \forall t\in[1;2]$
Từ đó suy ra phương trình $(*)$ có ít nhất 1 nghiệm $t\in[1;2]$ khi và chỉ khi $f(1)\le 2m\le f(2) \Leftrightarrow 0\le m\le 2$