Ta có: $\begin{cases}(x+y)(1+\dfrac{1}{xy})=5 \\ (x^2+y^2)(1+\dfrac{1}{x^2y^2})=49 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+\dfrac{1}{x})+(y+\dfrac{1}{y})=5 \\ (x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2=53 \end{cases} (*)$
Đặt $u=x+\dfrac{1}{x}, v=y+\dfrac{1}{y}$. Khi đó hệ (*) trở thành:
$\begin{cases}u+v=5 \\ u^2+v^2=53 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 7,v=-2\\u = -2,v=7\end{array} \right.$
+ Với $\begin{cases}u=7 \\ v=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\dfrac{1}{x}=7 \\ y+\dfrac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-7x+1=0 \\ y^2+2y+1=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=\dfrac{7+ \sqrt{45}}{2} \\ y=-1 \end{cases}\\\begin{cases}x= \dfrac{7- \sqrt{45}}{2}\\ y=-1 \end{cases}\end{array} \right.$
+ Với $\begin{cases}u=-2 \\ v=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{1}{x}=-2 \\ y+\frac{1}{y}=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+2x+1=0 \\ y^2-7y+1=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=-1 \\ y=\frac{7+ \sqrt{45}}{2} \end{cases}\\\begin{cases}x= -1\\ y=\frac{7- \sqrt{45}}{2} \end{cases}\end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)\in\{(\frac{7\pm \sqrt{45}}{2};-1),(-1; \frac{7\pm \sqrt{45}}{2})\}$