Ta có:
$\int\limits_0^1 x^3e^{2x}dx$
$=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 x^3d(e^{2x})$
$=\dfrac{x^3e^{2x}}{2} \left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 e^{2x}d(x^3)$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 x^2e^{2x}dx$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3}{4}\int\limits_0^1 x^2d(e^{2x})$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3x^2e^{2x}}{4} \left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.+\dfrac{3}{4}\int\limits_0^1 e^{2x}d(x^2)$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3e^2}{4}+\dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 xe^{2x}dx$
$=-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{3}{4}\int\limits_0^1xd(e^{2x})$
$=-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{3xe^{2x}}{4} \left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.-\dfrac{3}{4}\int\limits_0^1 e^{2x}dx$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3}{4}\int\limits_0^1 e^{2x}dx$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3e^{2x}}{8} \left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.$
$=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{3e^2}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{e^2+3}{8}$