Cực trị(tt).

Question

Cho

$a,\,b,\,c\geq0$ thỏa

$a+b+c=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 9/1/2013 4:16:56 PM

Trước hết ta có bài toán phụ sau :

Cho

$a,b,c \ge 0$ thì

$(a+b+c)^3 \ge 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử

$a=\max(a,b,c)$

+ với

$a \ge b \ge c$ thì

$VT \ge 0 \ge VP$ , đúng.

+ với

$a \ge c \ge b$ thì BĐT tương đương với:

$(a+b+c)^6 \ge 108 (a-b)^2.(b-c)^2 . (c-a)^2$

Nhận thấy:

$VP \le 108 a^2.c^2.(a-c)^2=27. 2ac.2ac.(a-c)^2 \le \dfrac{((a-c)^2+2ac+2ac)^3}{27}= (a+c)^6 \le (a+b+c)^6$

Áp dụng BĐT trên, dùng hằng đẳng thức ta có:

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a) \le \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

Vậy

$\max P = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ chẳng hạn khi

$b=0 , a= \dfrac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} , c=\dfrac{1}{3+\sqrt{3}}$

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 9/1/2013 2:45:23 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Ta biết bài toán phụ sau đây. Nếu

$x+y+z=0$ thì

$x^3+y^3+z^3=3xyz.$
Đặt

$a-b=x, b-c=y,c-a=z$ ta lập tức có

$P=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3(a-b)(b-c)(c-a).$
Mặt khác ta có thể giả sử

$c=\min \{ a,b,c\}.$
+ Nếu

$a \ge b \ge c\Rightarrow P \le 0.$
+ Nếu

$b \ge a \ge c$ thì ta có

$P=3xyz=-3(y+z)yz$ trong đó

$\begin{cases}z=b-c \ge 0 \\ y=c-a \le 0\\ z-y=a+b-2c =1-3c \le 1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0 \le z\le y+1 \\ -y \ge 0\\ 0 \le y+z\le 2y+ 1 \end{cases}$
Suy ra

$P=-3(y+z)yz \le -3y(2y+1)(y+1)$ với

$-1 \le y \le 0.$
Khảo sát hàm số

$f(y)=-3y(2y+1)(y+1)$ với

$-1 \le y \le 0$ thì

$\max P =\frac{1}{2\sqrt 3}$ .
Xảy ra chẳng hạn khi

$(a,b,c)=\left ( \frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 3},\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 3},0 \right )$ .

Trả lời 01-09-13 02:45 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-09-13 09:29 PM

em xem được lời giải rồi nhé! – Trần Nhật Tân 03-09-13 07:41 PM

giả sử c min thì lúc nào cũng giả sử được mà bạn. – Trần Nhật Tân 01-09-13 09:46 PM

:(( Anh

$\mbox{Tân}$ ơi sao anh đánh phí làm gì vậy ạ :( – Xusint 01-09-13 07:48 PM

Pan oj gia su c=min{a,b,c} la sao, khi nao gia su duoc – banhangonlinegiamem 01-09-13 07:47 PM