Có $B \in Ox và \in cạnh AB \Rightarrow B(2;0)$Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$
Có (IH) vuông góc AB và đi qua I(0;2)
$\Rightarrow (IH): x+\sqrt3-2\sqrt3=0$
$\Rightarrow H$ là giao điểm (IH) và (AB)
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_H+\sqrt3y_H=2\sqrt3\\ \sqrt3x_H-y_H=2\sqrt3 \end{array} \right.$
Giải hệ bằng PP cộng đại số, ta có $H(\frac{\sqrt3(\sqrt3+1)}2;\frac{\sqrt3(\sqrt3-1)}2)$
Gọi K là điểm đối xứng với H qua BI
Vì $\triangle ABC$ cân ở B, I là tâm đường tròn ngoại tiếp
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} HK vuông BI:x+y-2=0 \\ HK cắt BI tại E(E là trung điểm HK) \end{array} \right.$
Có (HK) vuông BI và đi qua H
$\Rightarrow (HK): x-y-\sqrt3=0$
Có E là giao điểm HK và BI $\Rightarrow E(\frac{2+\sqrt3}2;\frac{2-\sqrt3}2)$
Vì E là trung điểm HK, tọa độ E, H đã biết
$\Rightarrow K(\frac{1+\sqrt3}2;\frac{1-\sqrt3}2)$
Mặt khác vì H là trung điểm AB, K là trung điểm AC
$\triangle ABC$ cân ở B nội tiếp (I) và HK đối xứng nhau qua BI
Từ những điều trên $\Rightarrow$ K là trung điểm BC
$\Rightarrow C(\sqrt3-1;1-\sqrt3)$