toán khó !

Question

Cho

$n\in Z^+$ . Tìm cực trị của

$y = x^n (x-3)^2$

binhnguyenhoangvu · Answer 1 · 7/14/2013 4:05:38 PM

$y = {x^n}{(x - 3)^2}$

TXĐ:

$D= R$

$y' = n{x^{n - 1}}{(x - 3)^2} + 2{x^n}(x - 3) = {x^{n - 1}}(x - 3)[(n+2)x-3n]$

$y' = 0$ $\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} x = 3\\ x = 0 \\ x=\frac{{3n}}{{n+2}} \end{gathered} \right.$

Ta có: $0<\frac{{3n}}{{n + 2}} = \frac{{3n + 6 - 6}}{{n + 2}} = 3 - \frac{6}{{n + 2}} < 3 \forall n \in {{Z^ + }}$

$* n$ chẵn $\Rightarrow n - 1$ lẻ: Lập bảng biến thiên (qua nghiệm 0 đổi đấu), ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và tại $x=3$ ; đạt cực đại tại $x = \frac{{3n}}{{n + 2}}$ .

$* n$ lẻ $\Rightarrow n - 1$ chẵn: Lập bảng biến thiên (qua nghiệm 0 không đổi đấu), ta suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{{3n}}{{n + 2}}$ và đạt cực tiểu tại $x=3$ ;