Ta có:
$y'=6x^2-6(m+1)x+6m$
$y'=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\x=m\end{array}\right.$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne1$
Hàm số có 2 điểm cực trị là: $A(1;3m-1);B(m;-m^3+3m^2)$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(m-1;-(m-1)^3)$
Để đường thẳng qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng $y=x+2$ thì:
$(m-1)-(m-1)^3=0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2=1$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=2\\m=0\end{array}\right.$