Cực trị(ttt).

Question

Cho ba số dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z\leq\dfrac{3}{2}.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$P=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 7/9/2013 1:36:16 PM

Chứng minh không có max

Cho $x,y \to 0^+, z \to \frac{3}{2}^-$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y} \to +\infty \Rightarrow P\to +\infty .$
Do đó biểu thức không có GTLN.

Trả lời 09-07-13 01:36 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 7/9/2013 9:51:30 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Tìm min bằng phương pháp hàm số :

$P \ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=t+\frac{9}{t}=f(t)$ trong đó $0<t=x+y+z \le \frac{3}{2}.$
Ta có $f'(t) =1-\frac{9}{t^2}=\frac{t^2-9}{t^2}<0\quad \forall 0<t \le \frac{3}{2}.$
Do đó $f(t) \ge f\left ( \frac{3}{2}\right )=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$

Trả lời 09-07-13 09:51 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 7/9/2013 9:47:17 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Tìm min bằng phương pháp cổ điển :

$P \ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=(x+y+z) + \dfrac{9}{4(x+y+z)}+\dfrac{27}{4(x+y+z)} \ge 2\sqrt{(x+y+z) . \dfrac{9}{4(x+y+z)}} + \dfrac{27}{4.\dfrac{3}{2}}=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$

Trả lời 09-07-13 09:47 AM