Cực trị.

Question

Cho hai số thực không âm $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{y}{x+1}+\dfrac{x}{y+1}$$

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 7/9/2013 1:51:24 PM

Tìm min, max bằng phương pháp BĐT cổ điển

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó $S = \frac{2-2t}{t+2}$
$\bullet t \le \frac{1}{4}\Rightarrow \begin{cases}2-2t \ge \frac{3}{2} \\ \frac{1}{t+2} \ge \frac{4}{9}\end{cases}\Rightarrow
S \ge \frac{2}{3}.$
$\bullet t \ge 0\Rightarrow \begin{cases}2-2t \le 2 \\ \frac{1}{t+2} \le \frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 7/9/2013 1:27:40 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Tìm min, max bằng phương pháp hàm số

Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó
$S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$
Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên
$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$

lịch sử

Sửa 09-07-13 01:27 PM