Trước hết ta chứng minh $f$ là hàm bị chặn và có $lim$ tại $0$, nghĩa là mặc dù $f$ ngày càng tăng khi $x\rightarrow 0$ do hàm nghịch biến , nhưng giới hạn tại đó là hữu hạnPhản chứng , giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)= +\infty $
Theo giả thiết
$f(x)=2012^{-\frac{x}{2}}f(\frac{x}{2})$
$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4})}f(\frac{x}{4})$
$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8})}f(\frac{x}{8})$
$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+...)}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)$
Do $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+....=x$
$\Rightarrow f(x)=2012^{-x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)=2012^{-x}.\infty =\infty $
Vô lí vì $f(x)\in R^+$
Vậy $f(x)$ bị chặn và có giới hạn hữu hạn $u$ khi $x\rightarrow 0$
Khi đó $f(x)=u.2012^{-x}$