giúp mình bài này nữa mọi người ơi, cám ơn nhìu lắm

Question

Tìm tất cả các hàm số

$f : R^{+} \to R^{+}$ thỏa mãn

$a) f$ là hàm số nghịch biến trên

$R^{+};$

$b) f(2x)=2012^{-x}f(x) \forall x\in R^{+};$ với

$R^{+}=(0; +\infty )$ .

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 6/22/2013 9:47:27 AM

Trước hết ta chứng minh

$f$ là hàm bị chặn và có

$lim$ tại

$0$ , nghĩa là mặc dù

$f$ ngày càng tăng khi

$x\rightarrow 0$ do hàm nghịch biến , nhưng giới hạn tại đó là hữu hạn

Phản chứng , giả sử

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)= +\infty$

Theo giả thiết

$f(x)=2012^{-\frac{x}{2}}f(\frac{x}{2})$

$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4})}f(\frac{x}{4})$

$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8})}f(\frac{x}{8})$

$=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+...)}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)$

Do

$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+....=x$

$\Rightarrow f(x)=2012^{-x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)=2012^{-x}.\infty =\infty$

Vô lí vì

$f(x)\in R^+$

Vậy

$f(x)$ bị chặn và có giới hạn hữu hạn

$u$ khi

$x\rightarrow 0$

Khi đó

$f(x)=u.2012^{-x}$

1 Đáp án