Trước hết ta chứng minh f là hàm bị chặn và có lim tại 0, nghĩa là mặc dù f ngày càng tăng khi x→0 do hàm nghịch biến , nhưng giới hạn tại đó là hữu hạnPhản chứng , giả sử lim
Theo giả thiết
f(x)=2012^{-\frac{x}{2}}f(\frac{x}{2})
=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4})}f(\frac{x}{4})
=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8})}f(\frac{x}{8})
=2012^{-(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+...)}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)
Do \frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+....=x
\Rightarrow f(x)=2012^{-x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x)=2012^{-x}.\infty =\infty
Vô lí vì f(x)\in R^+
Vậy f(x) bị chặn và có giới hạn hữu hạn u khi x\rightarrow 0
Khi đó f(x)=u.2012^{-x}