Xét hàm số f(x)=x7−|x+1|Với x≤−1 thì f(x)=x7+x+1 Suy ra f′(x)=7x6+1>0 Do đó làm số đồng biến trên (−∞;−1)
Với x>−1 thì f(x)=x7−x−1 Suy ra f′(x)=7x6−1. f′(x)=0 Suy ra x=±16√7
Do hàm số liên tục trên R (ta dể dàng CM điều này). Ta có bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (−∞;−1) và (−1;−16√7) và (16√7;+∞)
Nghịch biến trên khoảng (−16√7;16√7)
Thấy rõ ∀x∈(−∞;16√7] thì f(x)<0
Xét f(x)trênA=(16√7;2) ta có f(16√7)f(2)<0 do đó hàm số có duy nhất một số c (do hàm số đồng biến trên A) thuộc khoảng A sao cho f(c)=0
Do hàm số đồng biến trên [2;+∞) nên ∀x>2 thì f(x)>f(2)=125>0 vậy f(x)>0∀x∈[2;+∞)
Do đó phương trình x7−|x+1|=0 chỉ có duy nhất một nghiệm