Xét hàm số $f(x)=x^{7}-|x+1|$Với $x\leq -1$ thì $f(x)=x^{7}+x+1$ Suy ra $f'(x)=7x^{6}+1>0$ Do đó làm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$
Với $x>-1$ thì $f(x)=x^{7}-x-1$ Suy ra $f'(x)=7x^{6}-1$. $f'(x)=0$ Suy ra $x=\frac{\pm 1}{\sqrt[6]{7}}$
Do hàm số liên tục trên R (ta dể dàng CM điều này). Ta có bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: $(-\infty;-1)$ và $(-1;\frac{-1}{\sqrt[6]{7}})$ và $(\frac{1}{\sqrt[6]{7}};+\infty)$
Nghịch biến trên khoảng $(\frac{-1}{\sqrt[6]{7}};\frac{1}{\sqrt[6]{7}})$
Thấy rõ $\forall x\in(-\infty;\frac{1}{\sqrt[6]{7}}]$ thì $f(x)<0$
Xét $f(x) trên A=(\frac{1}{\sqrt[6]{7}};2)$ ta có $f(\frac{1}{\sqrt[6]{7}})f(2)<0$ do đó hàm số có duy nhất một số c (do hàm số đồng biến trên A) thuộc khoảng A sao cho $f(c)=0$
Do hàm số đồng biến trên $[2;+\infty)$ nên $\forall x>2$ thì $f(x)>f(2)=125>0$ vậy $f(x)>0 \forall x\in[2;+\infty)$
Do đó phương trình $x^{7}-|x+1|=0$ chỉ có duy nhất một nghiệm