Ta có:
$\angle PNC=\angle BNM=\dfrac{180-\angle B}{2}=\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle C}{2}$
$\angle PIC=\angle IAC+\angle ICA=\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle C}{2}$
Suy ra: $\angle PNC=\angle PIC$, hay tứ giác $PNIC$ nội tiếp. $(1)$
Mà $\angle INC=\angle IQC=90^o$, nên tứ giác $NIQC$ nội tiếp. $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $NPCQ$ nội tiếp.