Tích phân thi đại học 2013

Question

Tính tích phân: I=

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{2 - sinx}{2 + cosx} dx$

đây là tích phân chứ bạn, nguyên hàm k có cận, và yêu cầu bài toán này chắc phải là tính tích phân chứ k phải chứng minh ^^

binhnguyenhoangvu · Answer 1 · 5/24/2013 7:23:38 PM

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2 - sinx}}{{2 + cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{sinx}}{{2 + cosx}}} dx$

* Tính

$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx$

Ta có:

$2 + \cos x = 2 + 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 1 = {\cos ^2}\frac{x}{2}(2 + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}) = {\cos ^2}\frac{x}{2}({\tan ^2}\frac{x}{2} + 3)$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}({{\tan }^2}\frac{x}{2} + 3)}}} dx$

Đặt

$t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^1 {\frac{{4dt}}{{{t^2} + 3}}}$

Đặt

$t = \sqrt 3 \tan u \Rightarrow dt = \sqrt 3 ({\tan ^2}u + 1)du$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{4\sqrt 3 ({{\tan }^2}u + 1)du}}{{3{{\tan }^2}u + 3}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {du} = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{9}$

* Tính