Biến đổi như sauF=x3+y3+2xy=(x+y)(x2+y2−xy)+2xy
=(x+y)((x+y)2−3xy)+2xy
=2007(20072−3xy)+2xy=20073−6019xy(1)
Vậy Fmin khi xymax và ngược lại
Bây giờ ta sẽ chứng minh : 2006≤xy≤1003.1004(2)
Thật vậy xy=x(2007−x)=2007x−x2
Khi đó
2006≤xy⇔−x2+2007x−2006≥0⇔(x−1)(2006−x)≥0
Luôn đúng vì 1≤x≤2006
xy≤1003.1004⇔x2−2007x+1003.1004≥0
⇔(x−1003)(x−1004)≥0
Điều này cũng đúng vì hoặc x≤1003 hoặc x≥1004
Từ (1) và (2) suy ra
minF=20073−6019.1003.1004 khi một trong hai số bằng1003 , số còn lại bằng 1004
maxF=20073−6019.2006 khi một trong hai số bằng 1 , số còn lại bằng 2006