Giá trị nhỏ nhất.

Question

khangnguyenthanh · Answer 1 · 5/11/2013 10:08:33 PM

Từ:

$3<ac,bc<6$ và

$c\in[2;3]$ suy ra

$1<a,b<3$ .

Lại có:

$2c(a^2+b^2)+b(ab+c)+c(ac+b)>b(b^2+c^2)+2ac(1+2b)$

$\Leftrightarrow (a-b)(2ac-c+b^2-2bc+c^2)>0$

$\Leftrightarrow a-b>0$ vì

$2ac-c+b^2-2bc+c^2=2(a-1)c+(b-c)^2>0$

Đặt

$x=a-b;y=b-1;z=3-a$ thì

$x,y,z>0$ và

$x+y+z=2$ .

Khi đó:

$P=2(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})+9\sqrt[3]{xyz}$

Ta có:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{yz}}=\dfrac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$

Tương tự:

$\dfrac{y}{z}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\ge\dfrac{3y}{\sqrt[3]{xyz}};\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}\ge\dfrac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}$

Suy ra:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\ge\dfrac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{xyz}}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{4}{\sqrt[3]{xyz}}+9\sqrt[3]{xyz}\ge2\sqrt{\dfrac{4}{\sqrt[3]{xyz}}.9\sqrt[3]{xyz}}=12$

$\min P=12 \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow a=\dfrac{7}{3};b=\dfrac{5}{3}$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi mavuong848@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 06-05-13 10:15 PM