$2\sqrt{1-\frac{2}{x}} + \sqrt{2x-\frac{8}{x}} \geq
x$
$\Leftrightarrow 2\sqrt {\frac{{x - 2}}{x}} + \sqrt {\frac{{2{x^2} - 8x}}{x}} \ge x$
(1)
* Điều kiện: $\frac{{x - 2}}{x} \ge 0 và \frac{{2{x^2} - 8x}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x < 0 hay x \ge 2$
* Dễ thấy, với $- 2 \le x < 0$, bất phương trình luôn
đúng.
* Xét $x \ge 2$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{x - 2}}{x}} (2 + \sqrt
{2x + 4} ) \ge x$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{x - 2}}{x}} \frac{{2x}}{{\sqrt
{2x + 4} - 2}} \ge x$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{x - 2}}{x}}
\frac{2}{{\sqrt {2x + 4} - 2}} \ge 1$
$(1) \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt x
(\sqrt {2x + 4} - 2)}} \ge 1$
$(1) \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} \ge \sqrt x (\sqrt {2x + 4} - 2)$ (Chú ý: $x \ge 2 \Rightarrow \sqrt {2x + 4} - 2 > 0$ )
$(1) \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} + 2\sqrt x
\ge \sqrt {2{x^2} + 4x} $
$(1) \Leftrightarrow 4x - 8 + 4x + 8\sqrt {{x^2} - 2x} \ge 2{x^2} + 4x$
$(1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4\sqrt {{x^2} - 2x} + 4 \le 0$
$(1) \Leftrightarrow {(\sqrt {{x^2} - 2x} - 2)^2} \le 0$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0
\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 5 $
Do $x \ge 2$ nên ta loại $x = 1 - \sqrt 5 $
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S = {\rm{[}} - 2;0]
\cup {\rm{\{ }}1 + \sqrt 5 {\rm{\} }}$