TOPIC về HỆ - BẤT - PHƯƠNG TRÌNH trong đề thi trung học

Question

HỆ - BẤT - PHƯƠNG TRÌNH là 1 câu khá phổ biến trong các đề thi bậc trung học hiện nay, phương pháp giải thì cũng khá là đa dạng và độc đáo.

Vì vậy, mình đề ra topic này mong có thể tổng hợp được đầy đủ nhất các phương pháp giải cho bài toán này.

Note: Với mong muốn là 1 chủ đề được duy trì lâu dài nên mọi người có thể đặt câu hỏi ở phần trả lời.( cái này xin tiền hành hậu tấu với các admin :)) Hãy thoải mái đóng góp các phương pháp cho topic được hoàn thiện.

Rất mong nhận được sự ủng hộ và đóng góp của mọi người.

Mong mọi người có thể duy trì được topic và mong rằng đây sẽ là câu hỏi có nhiều lượt trả lời :).

Xem thêm :

Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức nhé CLICK !

TOPIC về HỆ-BẤT-PHƯƠNG TRÌNH trong các đề thi Click !

"chị có nói vậy sao? =="", e ko hiểu đọan đó ak?
cái đó gọi là trích dẫn chị ak :v theo ước tính học sinh giỏi toán thg dốt văn thì phải

Hà Hoa · Answer 1 · 5/20/2016 7:42:42 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

http://www.nguoithay.vn/2015/11/chuyen-de-he-phuong-trinh.html

Trả lời 20-05-16 07:42 AM

Hà Hoa
1K 1 12

27K 22K

cám ơn bạn nhiều lắm :) – Confusion 20-05-16 05:05 PM

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 5/19/2016 8:13:20 PM

Câu ... : Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\ 125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15}=0 \end{cases}$ $(x,y \in R)$
Cách 1 : Sử dụng hàm số
$Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=1-y^{2} (1)\\ 125^{3}(y^{2}-1)=-6\sqrt{15} (2)\end{cases}$
$(1)\rightarrow y^{2}-1 \leq 0$
Kết hợp với $(2) : \begin{cases}y^{3}>0 \\ y^{2}-1<0 \end{cases}$ $\Rightarrow 0<y<1$
Xét : $f(y)=125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15} , y \in (0;1)$
$f'(y)=125y^{2}(5y^{2}-3)$
$f'(y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{15}}{5}$
Ta lập bảng biến thiên :

$hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=1 \\ y= \frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x= \pm \frac{\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$
Cách 2 : Áp dụng bđt
$Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}=1-y^{2} (1) \\ 125y^{3}(y^{2}-1)=-6\sqrt{15} (2) \end{cases}$
Từ $(1) : y^{2}-1 \leq 0$
Từ $(2) : y^{3} >0 \Rightarrow y>0$
$(2) \Leftrightarrow 125y^{5}+6\sqrt{15}=125y^{3}$
Ta có :
$3VT=125y^{5}+125y^{5}+125y^{5}+9\sqrt{15}+9\sqrt{15}\geq 5\sqrt[5]{5^{10}.3^{5}.y^{15}}=3.125y^{3}=3VP$
Nên $(2) \Leftrightarrow 125y^{5}=9\sqrt{15} \Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{15}}{5}$
$Hpt \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+y^{2}=1= \\ y= \frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x=\pm \frac{\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{\sqrt{15}}{5} \end{cases}$
P/s : K vẽ đv bbt :((
CÓ gì k hiểu mn có thể liên hệ ts sđt : 1900100 có

tran85295 · Answer 3 · 5/21/2016 1:39:51 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

4) Với $x>0$ ta có $\sqrt{1+\frac 1{x^2} +\frac 1{(x+1)^2}}=\sqrt{\frac{(x^2+x+1)^2}{x^2(x+1)^2}}=\frac{x^2+x+1}{x(x+1)}=1+\frac{1}{x^2+1}$

Tương tự với $y$

Lấy $pt(2)-pt(1)$ theo vế

$\Rightarrow \frac{4}{y^2+1}-\frac{4}{x^2+1}+5(x-y)=(\sqrt x+2\sqrt{x+1})^2-(\sqrt y+2\sqrt {y+1} )^2$

$\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ với $f(t)=(\sqrt t +2\sqrt{t+1})^2-5t+\frac{4}{t^2+1}$

$f'(t)=\frac{-8x}{(x+1)^2}<0 \forall x>0\Rightarrow $ nghịch biến

$\Rightarrow x=y$

Thế vào $pt(1)$ rút gọn các kiểu con đà điểu thu đc $\frac{1}{x(x+1)}=\sqrt{x(x+1)}$

$\Leftrightarrow x^2+x=1\Leftrightarrow y=x=\frac{-1+\sqrt 5}{2}$

$\Rightarrow$ nghiệm của hệ pt là $\Uparrow$

Trả lời 21-05-16 01:39 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

☼SunShine❤️ · Answer 4 · 5/20/2016 3:19:19 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Một số bài tập:

$1).\left\{ \begin{array}{l} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{array} \right.$
HD : Đạo hàm pt (1)

$2.)\left\{ \begin{array}{l} x+y-\sqrt{xy}=3\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 \end{array} \right.$ ( ĐH KA -2005)

$3.)\left\{ \begin{array}{l} x^4+y^2-xy^3-\frac{9}{8}x=0\\ y^4+x^2-yx^3-\frac{9}{8}y=0 \end{array} \right.$

$4.)\left\{ \begin{array}{l} 4\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}+5y=(\sqrt{y}+2\sqrt{y+1})^2\\ 4\sqrt{1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(y+1)^2}}+5x=(\sqrt{x}+2\sqrt{x+1})^2 \end{array} \right.$

$5).\left\{ \begin{array}{l} (x+y)(3xy-4\sqrt{x})=-2\\ (x+y)(3xy-4\sqrt{y})=2 \end{array} \right.$

lịch sử

Sửa 20-05-16 03:19 PM