Lượng giác lớp 10

Question

Tính giá trị biểu thức

$A = \frac{1}{{\cos x.\cos 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x.\cos 3x}} + ... + \frac{1}{{\cos 2012x.\cos 2013x}}$ với

$x = \frac{\pi }{{2012}}$

binhnguyenhoangvu · Answer 1 · 4/19/2013 11:11:38 AM

Ta có:

$\tan (n + 1)x - \tan nx = \frac{{\sin (n + 1)x}}{{\cos (n + 1)x}} - \frac{{\sin nx}}{{\cos nx}} = \frac{{\sin (n + 1)x.\cos nx - \sin nx.\cos (n + 1)x}}{{\cos (n + 1)x.\cos nx}} = \frac{{\sin {\rm{[}}(n + 1)x - nx]}}{{\cos (n + 1)x.\cos nx}} = \frac{{\sin x}}{{\cos (n + 1)x.\cos nx}}$

Suy ra:

$\frac{1}{{\cos nx.\cos (n + 1)x}} = \frac{1}{{\sin x}}[\tan (n + 1)x - \tan nx]$

Từ đó:

$A = \frac{1}{{\sin x}}{\rm{[}}\tan 2x - \tan x{\rm{] + }}\frac{1}{{\sin x}}{\rm{[}}\tan 3x - \tan 2x{\rm{] + }}...{\rm{ + }}\frac{1}{{\sin x}}{\rm{[}}\tan 2013x - \tan 2012x{\rm{]}}$