|
|
+ Nếu một trong năm số $a,b,c,d,e$ bằng $1$ thì suy ra $a=b=c=d=e=1.$
+ Không mất tính tổng quát giả sử $a >1$. Từ $a^b=b^c \Rightarrow b>1.$
Tương tự như vậy $c,d,e >1$. Như vậy tất cả các hàm mũ mà $a,b,c,d,e$ là cơ số thì đều là hàm tăng.
Không mất tính tổng quát giả sử $a \le b.$
Từ $a^b=b^c \Rightarrow \dfrac{a^b}{b^b}=\dfrac{b^c}{b^b}\Rightarrow \left ( \dfrac{a}{b} \right )^b=b^{c-b}$
Do $\dfrac{a}{b} \le 1 \Rightarrow b^{c-b} \le 1=b^0\Rightarrow c -b\le 0 \Rightarrow c \le b.$
Tương tự như vậy với các đẳng thức còn lại
$\begin{cases}c \le b \\ b^c=c^d \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{b}{c} \ge 1 \\ \left ( \dfrac{b}{c} \right )^c=c^{d-c} \end{cases}\Rightarrow c \le d$
$\begin{cases}c \le d \\ c^d=d^e
\end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le d$
$\begin{cases}e \le d \\ d^e=e^a
\end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow e \le a$
$\begin{cases}e \le a \\ e^a=a^b
\end{cases}\Rightarrow \ldots \Rightarrow b \le a$
kết hợp $a \le b$ và $b \le a$ ta có $a=b$. Tiếp tục như vậy $b=c,c=d,d=e.$
Vậy phải có $a=b=c=d=e$.
|
|
|
Trả lời 31-12-12 09:29 PM
|
|