a)
Với $n=1$ ta có : $I_1=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dx}{x+1}=2\ln |x+1|\left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.=\ln 2<1 \Rightarrow 0\leqslant I_n\leqslant 1 $
Với $n>1 \Rightarrow x>1 \Rightarrow 0< \frac{x^{n-1}+1}{x^n+1}<1 $
$ \Rightarrow 0<I_n<1 =\int\limits_{n-1}^{n}dx=x \left|\begin{array}{l}n\\n-1\end{array}\right. $.
Vậy dãy ${I_n}$ bị chặn
b)
Đổi biến số : $x=t-1 \Rightarrow dx=dt$
Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l} x=n \Rightarrow t=n+1\\ x=n-1 \Rightarrow t=n \end{array} \right. $
$x \in [n-1;n] \Rightarrow t\in [n;n+1]$
$I_n =\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(t-1)^{n-1}+1}{(t-1)^n+1}dt=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1}dx$ mà $I_{n+1}=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1} dx $
Nên muốn chứng minh $I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}$, ta cần chứng minh $\forall n \in \mathbb{N}$
$\forall x \in [n;n+1]: \frac{x^n+1}{x^{n+1}}<\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1} (1) $
Thật vậy : $(1) \Leftrightarrow (x^n+1)[(x-1)^n+1]-(x^{n+1}+1)[(x-1)^{n-1}+1]<0$
$\Leftrightarrow -x^n(x-1)^{n-1}-x^n(x-1)+(x-1)^{n-1}(x-2)<0$
$\Leftrightarrow -(x-1)^{n-1}(x^n-x+2)-(x-1)x^n<0 (2)$
$(2)$ đương nhiên đúng với $\forall x \in [n;n+1]$.Do đó : $(1)$ đúng
Từ đó suy ra $\int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1}<\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1} $
Hay : $I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}$