Theo mình đề bài phải là:
Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 5−x+5−y+5−z=1
Chứng minh rằng : 25x5x+5y+z+25y5y+5x+z+25z5z+5x+y≥5x+5y+5z4
Lời giải:
Đặt: 5x=a,5y=b,5z=c, thì ta có:
1a+1b+1c=1⇔ab+bc+ca=abc
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥a+b+c4
⇔a3a2+abc+b3b2+abc+c3c2+abc≥a+b+c4
Ta có: a2a+bc=a3a2+abc=a3a2+ab+bc+ca=a3(a+b)(a+c)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
a3(a+b)(b+c)+a+b8+a+c8≥3a4
Hay a2a+bc≥a2−b8−c8
Tương tự: b2b+ac≥b2−c8−a8
c2c+ab≥c2−a8−b8
Từ đó suy ra:
a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥14(a+b+c)