Bài tập số phức

Question

a) Xác định tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z = x + yi$ $\left( {x,y \in R} \right)$ thỏa mãn điều kiện ${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 0$

b) Tìm số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện : ${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 0$ và $\left| {\frac{{z - 1}}{{z - 3}}} \right| = 1$

c) Cho số phức $\alpha$ . Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có:
$z\overline{z} +\overline{\alpha}z+\alpha \overline{z} =|z+\alpha|^2-\alpha \overline{\alpha}$

d) Tìm số phức $Z$ sao cho $|\frac{Z-i}{Z+3i}|=1$ và $Z+1$ có một acgumen bằng $-\frac{\pi}{6}$ .

e)

Cho số phức

$Z$ có Môđun bằng

$1$ và

$\varphi$ là một acgumen của nó. Hãy tìm một acgumen của các số phức sau:

1)

$-\frac{1}{2\overline{Z}}$
2)

$Z^2-Z$ , nếu

$\sin \frac{\varphi}{2}\neq 0$

3)

$Z^2+\overline{Z}$ , nếu

$\cos \frac{3\varphi}{2}\neq 0$ .

Lên Đại học mà cũng phải học số phức, cấp 3 đã không chú ý phần này. Các bạn giải giùm nhé.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/31/2012 10:33:53 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

e3) Theo công thức Moavro thì

$z^2=(\cos \phi + i \sin \phi)^2=\cos 2\phi + i \sin 2\phi$

$\Rightarrow z^2+\overline z=\cos 2\phi+\cos \phi + i (\sin 2\phi+\sin \phi)=2\cos\frac{3\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}+2i\cos\frac{3\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}$

$\Rightarrow z^2+\overline z=2\cos\frac{3\phi}{2}\left ( \cos\frac{\phi}{2}+i\sin\frac{\phi}{2} \right )$
Vậy acgumen của

$z^2+\overline z$ là

$\frac{\phi}{2}$ nếu

$\cos\frac{3\phi}{2} >0$

$\pi +\frac{\phi}{2}$ nếu

$\cos\frac{3\phi}{2} <0$

Trả lời 31-10-12 10:33 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 10/31/2012 10:33:10 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

e2)
Theo công thức Moavro thì

$z^2=(\cos \phi + i \sin \phi)^2=\cos 2\phi + i \sin 2\phi$

$\Rightarrow z^2-z=\cos 2\phi-\cos \phi + i (\sin 2\phi-\sin \phi)=-2\sin\frac{3\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}+2i\cos\frac{3\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}$

$\Rightarrow z^2-z=2\sin\frac{\phi}{2}\left ( \sin(-\frac{3\phi}{2})+i\cos(-\frac{3\phi}{2}) \right )$
Vậy acgumen của

$z^2-z$ là

$-\frac{3\phi}{2}$ nếu

$\sin\frac{\phi}{2} >0$

$\pi -\frac{3\phi}{2}$ nếu

$\sin\frac{\phi}{2} <0$

Trả lời 31-10-12 10:33 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/31/2012 10:32:39 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

e1)

$|z=1|$ ,

$z$ có một acgumen là

$\phi$ . Do đó

$z = \cos \phi + i\sin \phi$ .
1)

$z = \cos \phi + i\sin \phi \implies 2\overline z=2(\cos \phi - i\sin \phi)$

$\Rightarrow -\frac{1}{ 2\overline z}=-\frac{1}{2(\cos \phi - i\sin \phi)}=-\frac{1}{2}(\cos \phi + i\sin \phi)=\frac{1}{2}\left[ {\cos (\pi +\phi) + i(\pi+\sin \phi)} \right]$
Vậy

$-\frac{1}{ 2\overline z}$ có một acgumen là

$\pi+\phi$

Trả lời 31-10-12 10:32 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 10/31/2012 10:30:59 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

d) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113487/so-phuc

Trả lời 31-10-12 10:30 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 10/31/2012 10:30:20 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

c)
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114180/moi-nguoi-giai-giup

Trả lời 31-10-12 10:30 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Trần Nhật Tân · Answer 6 · 10/3/2012 12:09:53 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Từ câu a) thì ta cần tìm những số phức dạng

$z=a \pm ai, a \in \mathbb{R}.$

$\left| {\frac{{z - 1}}{{z - 3}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {\frac{{|z - 1|}}{{|z - 3|}}} = 1 \Leftrightarrow {\frac{{(a-1)^2+a^2}}{{(a-3)^2+a^2}}} = 1 \Leftrightarrow a = 2$ .
Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài là :

$z_1 = 2(1 + i)$ và

$z_2 = 2(1 – i)$ .

Trả lời 03-10-12 12:09 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-10-12 12:13 PM

Trần Nhật Tân · Answer 7 · 10/3/2012 12:00:32 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

a)

$\overline z =x-yi$

${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right)$ .
Từ

${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {y^2}$
Vậy tập hợp cần tìm là hai đường thẳng :

$y =$

$\pm$

$x$

Trả lời 03-10-12 12:00 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

cả e nữa nhé a Tân – hoangtuchuayeu_hp 03-10-12 09:02 PM

Vote cho anh Tân,lần sau em hỏi anh cũng nhanh thế nhé – nguyenphuc423 03-10-12 03:56 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-10-12 12:13 PM