Ta sẽ dùng phương pháp tích phân từng phần để giải bài tập
này
Đặt
{u=1+sinx1+cosxdv=exdx⇒{du=1+sinx+cosx(1+cosx)2v=ex.
Theo công thức TPTP, ta có
I=π2∫0udv=uv|π/20−π2∫0vdu=1+sinx1+cosx.ex|π/20−π2∫01+sinx+cosx(1+cosx)2.exdx
=2eπ/2−12−π2∫0ex1+cosxdx−π2∫0exsinx(1+cosx)2dx(1)
Với tích phân I1=π2∫0exsinx(1+cosx)2dx ta lại đặt
{u=exdv=sinx(1+cosx)2dx⇒{du=exdxv=11+cosx.
Theo công thức TPTP, ta có
I1=ex1+cosx|π/20−π2∫0ex1+cosxdx=eπ/2−12−π2∫0ex1+cosxdx(2)
Từ (1) và (2) suy ra I=eπ/2.