giải bất phương trình

Question

Giải bất phương trình:

$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}>\frac{3\sqrt{5}}{2}$

dat.to.hung.vuong94 · Answer 1 · 6/19/2012 3:10:48 PM

Điều kiện:

$\begin{cases}x>0 \\ x^2-1>0 \end{cases} \Leftrightarrow x>1$ . Đặt

$x=\frac{1}{\cos \alpha}, \alpha \in (0;\frac{\pi}{2})$

BPT

$\Leftrightarrow \frac{1}{\cos \alpha}+\frac{1}{\sin \alpha}>\frac{3\sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sin \alpha+\cos \alpha)>3\sqrt{5}\sin \alpha\cos \alpha$ (*)

Đặt

$t=\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}\cos (t-\frac{\pi}{4}) \in(1;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow \sin \alpha\cos \alpha=\frac{t^2-1}{2}$

Khi đó:

BPT (*)

$\Leftrightarrow 2t>3\sqrt{5}\frac{t^2-1}{2} \Leftrightarrow 3\sqrt{5}t^2-4t-3\sqrt{5}<0$

$\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}<t<\frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} <\cos (t-\frac{\pi}{4})<\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi}{4}>t-\frac{\pi}{4}>\varphi\\-\frac{\pi}{4}<t-\frac{\pi}{4}<-\varphi \end{array} \right.$ ( với

$\cos \varphi=\frac{3}{\sqrt{10}} , \varphi \in (0;\frac{\pi}{2})$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi}{4}+\varphi<t<\frac{\pi}{2}\\0<t<\frac{\pi}{4}-\varphi\end{array} \right.$

Do hàm số

$y=\cos x$ nghịch biến trên

$[0;\pi]$ nên:

$\left[ \begin{array}{l}0<\cos t<\cos (\frac{\pi}{4}+\varphi)\\\cos (\frac{\pi}{4}-\varphi)<\cos t <1\end{array} \right.$

Hơn nữa :

$\begin{cases}\cos (\frac{\pi}{4}+\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \varphi-\sin \varphi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}} \right )=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos (\frac{\pi}{4}-\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \varphi+\sin \varphi) =\frac{2}{\sqrt{5}}\end{cases}$

Do đó nghiệm BPT đã cho là