|
giải đáp
|
Giải phương trình sau:
|
|
|
ÐK: $x\neq 0$. Phương trình có thể viết: $1-\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{2}{x}+...+\dfrac{1}{x} (1)$
$(1)$ được xem là tổng của một cấp số cộng có $u_1=1-\dfrac{1}{x}; d=-\dfrac{1}{x} $
Ta xem $\dfrac{1}{x}=u_n $ hay $\dfrac{1}{x}=1-\dfrac{n}{x} $, suy ra $n=x-1$
Áp dụng $S_0=(u_1+u_n)\dfrac{n}{2} $ vào $(1)$, ta được $(1-\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{n}{x})\dfrac{x-1}{2}=3 $
Suy ra $x=7$.
ĐS: Nghiệm của phương trình là $x=7$.
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh quy nạp toán học
|
|
|
Ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp: Khi $n=1$, mệnh đề hiển nhiên đúng Khi $n=k+1$, ta có: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}. \frac{2k+1}{2(k+1)}=\frac{1}{\sqrt {2k+3}}.\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2(k+1)}$ $=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}.\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} } $ $=\frac{1}{2k+3}.\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4} } $ Vì $\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}<1 $ nên từ đó suy ra: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}} $ Tức là $(1)$ đúng khi $n=k+1$ Vậy mệnh đề trên đúng với mọi $n$.
|
|
|
giải đáp
|
Cấp số cộng
|
|
|
Vì $\alpha, \beta, \gamma$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng $d= \dfrac{\pi}{3} $ nên $\alpha=\beta-\dfrac{\pi}{3} , \gamma= \beta+\dfrac{\pi}{3} $
Vế trái (VT) của $(1)$ là: $tan(\beta -\dfrac{\pi}{3} )tan \beta + tan \beta. tan \left ( \beta+\dfrac{\pi}{3} \right )+ tan \left ( \beta - \dfrac{\pi}{3} \right ). tan \left ( \beta + \dfrac{\pi}{3} \right ) $
hay $\dfrac{tan \beta- \sqrt[]{3} }{1+\sqrt[]{3}tan \beta }.tan \beta + tan \beta. \dfrac{tan\beta+\sqrt[]{3} }{1-\sqrt[]{3}tan\beta } +\dfrac{tan\beta - \sqrt[]{3} }{1+\sqrt[]{3}tan \beta }.\dfrac{tan\beta + \sqrt[]{3} }{1-\sqrt[]{3}tan\beta }$
$= \dfrac{(tan^2\beta-\sqrt[]{3}tan\beta )(1-\sqrt[]{3}tan\beta )+(tan^2\beta+\sqrt[]{3}tan\beta )(1+\sqrt[]{3}tan\beta )+tan^2\beta-3}{1-3tan^2\beta} $
$=\dfrac{9tan^2\beta-3}{1-3tan^2\beta}= -3 \dfrac{\left ( 1-3tan^2 \beta \right ) }{1-3tan^2\beta}= -3 $
Vậy $(1)$ được chứng minh.
|
|
|
giải đáp
|
Bài tập về quy tắc đếm
|
|
|
a) Cho $n$ điểm (không có $3$ điểm nào thẳng hàng), ta cứ nối hai điểm với nhau thì được số cạnh và số đường chéo. Do đó số đường chéo là: $$C^{2}_{n}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n=\frac{(n-1)n}{2}-n=\frac{(n-3)n}{2}$$ b) Cứ nối $3$ đỉnh ta được một tam giác nên số tam giác có được từ $n$ điểm là: $$C^{3}_{n}=\frac{n!}{3!(n-3)}=\frac{(n-2)(n-1)n}{6}$$ c) Số đường chéo đi qua đỉnh A là $n-3$ d) Tam giác có $1$ đỉnh là A, $2$ đỉnh còn lại là đỉnh của $n$- giác bằng cách nối hai trong $n-1$ điểm còn còn lại để được một cạnh đối diện với đỉnh A. Do đó số tam giác có một đỉnh là A bằng: $C^{2}_{n-1}=\frac{(n-2)!}{2!(n-3)!}=\frac{(n-2)(n-1)}{2}$
|
|
|
giải đáp
|
Quy tắc đếm
|
|
|
a) Giả sử số cần tìm có dạng $\overline{abcba}$. Như vậy, ta chỉ cần tìm số $\overline{abc}$ là đủ vì sau khi đã tìm được số $\overline{abc}$ rồi, ta chỉ cần ghép chúng vào mỗi số.
Bài toán quy về tìm số có ba chữ số được lập bởi $10$ số từ $0$ đến $9$.
Nên có tất cả là $648$ số.
b) Số cần tìm là $\overline{abcdef}$, trong đó $f$ phải là $0$ hoặc $5$.
- Nếu $f=0$ thì có $9$ cách chọn $a$ và $A^4_8$ cách chọn $b,c,d,e$. Do đó có: $9.A^4_8=15120$ (số).
- Nếu $f=5$ thì có $8$ cách chọn $a\neq 0$ và $A^4_8$ cách chọn $b,c,d,e$. Do đó có: $8.A^4_8=13440$ (số)
Vậy có tất cả: $9.A^4_8+8.A^4_8=15120+13440=28560$ số thỏa mãn đề bài.
|
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình bậc hai
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
giải đáp
|
Nghiệm của PT bậc hai
|
|
|
Phương trình có hai nghiệm trái dấu nếu $\begin{cases}\Delta >0 \\ P<0 \end{cases}$ a) $\begin{cases}m^2+11m+14>0\\ P=\frac{-3m+2}{1} <0\end{cases} \Leftrightarrow m>\frac{2}{3} $.
b)$\begin{cases}9m^2-118m+429>0\\ P=\frac{2m-3}{-1} <0\end{cases}
\Leftrightarrow m>\frac{3}{2} $.
c) $\begin{cases}m \ne 2 \\m^2-5m+4<0\\ P=\frac{3m-4}{m-2} <0\end{cases}
\Leftrightarrow \frac{3}{4}<m<2 $
|
|
|
giải đáp
|
Bài toán về nghiệm của PT bậc hai
|
|
|
a) Ta có : $ \Delta' = 5m-4, S=\frac{2m}{m-1}, P=\frac{m-4}{m-1}$. Kết quả: $m<\frac{4}{5} $: Phương trình vô nghiệm. $m=\frac{4}{5} $: Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-4$ $\frac{4}{5}<m<1 $: phương trình có hai nghiệm âm (ứng với điều kiện $S<0, P>0$). $m=1$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{3}{2} $. $1<m<4$:
Phương trình có nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối
lớn hơn (ứng với điều kiện $S>0, P<0$). $m=4$: Phương trình có hai nghiệm $x_1=0; x_2=\frac{8}{3}$. $m>4$: Phương trình có hai nghiệm dương (ứng với điều kiện $S>0, P>0$).
b) Với $m \neq 1$, ta có $S=\frac{2m}{m-1} \Rightarrow S=2+\frac{2}{m-1} $ $P=\frac{m-4}{m-1} \Rightarrow P=1-\frac{3}{m-1}$ cho ta: $ 3S+2P-8=0$. Hệ thức cần tìm là: $3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8=0.$ c)
Điều kiện: $\begin{cases}\Delta'<0 \\ a< 0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}5m-4<0 \\ m-1<0 \end{cases}
\Leftrightarrow m<\frac{4}{5} $.
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình bậc hai chứa tham số
|
|
|
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $\begin{cases}m-2 \ne 0
\\ \Delta>0 \\ P>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m
\ne 2 \\ 3m^2+10m-33 <0 \\ (m-2)(m+3)<0\end{cases}\Leftrightarrow
-3<m<2.$ b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là: $\begin{cases}\Delta>0
\\ P>0 \\ S>0 \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}-2m^2-11m-5>0 \\ m \neq -1\\\frac{3(m+1)}{m+1}>0 \\
\frac{2(m-1)}{m+1} >0 \end{cases} $ $\Leftrightarrow
\begin{cases}-5<m<-\frac{1}{2} \\ P=3>0 \\ \left[
{\begin{matrix} m<-1 \\ m>1 \end{matrix}} \right. \end{cases}
\Leftrightarrow -5<m<-1$ Để phương trình có hai nghiệm âm thì: $\begin{cases}
\Delta >0 \\ P>0 \\ S<0\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}-2m^2-11m-5>0 \\ P>0 \\ \frac{2(m-1)}{m+1}<0
\end{cases} $ Từ các kết quả trên ta được: $-1<m<-\frac{1}{2} $
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình bậc hai
|
|
|
a) Để $-1$ nằm giữa hai nghiệm , theo định lý đảo dấu tam thức bậc
hai, ta phải có $\begin{cases}\Delta'>0 \\ af(-1)<0 \end{cases}$ Ta có: $\Delta'=m+3>0 \Leftrightarrow m>-3$. $ f(x)=(m−1)x^2−2(m+1)x+m+2$ $f(-1)=(m-1)(-1)^2-2(m+1)(-1)+m+2 \Rightarrow f(-1)=4m+3$ $a.f(-1)<0 \Leftrightarrow (m-1)(4m+3)<0 \Leftrightarrow -\frac{3}{4}<m<1 $.
b) Điều kiện để $-1<x_1<x_2$ là: $\begin{cases}\Delta'>0
\\ af(-1)>0 \\\frac{S}{2}-(-1)>0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}m+3>0 \\ (m-1)(4m+3)>0\\
\frac{3m+1}{m-1}>0 \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}m>-3 \\ \left[ {\begin{matrix} m<-\frac{3}{4} \\
m>1\end{matrix}} \right.\\\left[ {\begin{matrix} m<-\frac{1}{3}
\\ m>1 \end{matrix}} \right. \end{cases} $ Kết quả: $-3<m<-\frac{3}{4} $ hoặc $m>1$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình chứa tham số
|
|
|
Giải hệ: $\begin{cases}\Delta>0 \\ af(0)>0
\\\frac{S}{2}>0\\af(1)>0\\\frac{S}{2}-1<0
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}5m^2-2m-3>0 \\
-(m-3)(m+1)>0\\\frac{-(m+3)}{m-3}>0\\(m-3)(m-1)>0\\\frac{-(m-3)}{m-3}-1<0
\end{cases} $ Kết quả: $-1<m<\frac{3}{5} $
|
|
|
giải đáp
|
Nghiệm của PT bậc hai
|
|
|
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đã nêu, tức là: $-2<x_1<1<x_2$, ta phải có: $\begin{cases}\Delta'=6m+1>0\\af(1)<0 \\ f(-2).f(1)<0 \end{cases} $ Mặt khác, $ f(1)=4m-2; f(-2)=m-8$ Ta
giải hệ: $\begin{cases}m>-\frac{1}{6}\\m(4m-2)<0 \\
(4m-2)(m-8)<0 \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}0<m<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}<m<8
\end{cases} \Rightarrow $ không có giá trị nào của $m$ để điều
kiện đã cho được thỏa mãn.
|
|
|