4.
Có $C_9^4=126$ cách chọn 4 chữ số khác nhau từ tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
Với mỗi cách chọn, ta sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần ta nhận được một số thỏa mãn bài toán.
Vậy có tổng cộng $126$ số thỏa mãn.

1.
a) XS có 1 viên đạn trúng đích là: $0,85.0,3+0,15.0,7=0,36$
b) XS cả 2 viên đạn trùng đích là: $0,85.0,7=0,595$
d) XS không có viên đạn nào trúng đích là: $0,15.0,3=0,045$
c) XS có ít nhất 1 viên đạn trúng đích là: $1-0,045=0,955$

Lấy $A(0,-1,0),B(1,-3,-3)\in(d)$
và $C(0,1,4),D(-1,-1,-1)\in(d_1)$
Ta có: $\overrightarrow{MA}=(-1,0,-1),\overrightarrow{MB}=(0,-2,-4)$
Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng $(MAB)$ là:
$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}]=(-2,-4,2)=-2(1,2,-1)$
Suy ra phương trình mặt phẳng $(MAB)$ là:
$1(x-1)+2(y+1)-1(z-1)=0\Leftrightarrow x+2y-z+2=0$
Dễ thấy $C,D\in(MAB)$.
Suy ra: $M,(d),(d_1)$ đồng phẳng.

2.
Phương trình tương đương với:
$\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)^x+7\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^x=8$
Đặt: $a=\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)^x,b=\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^x;a,b>0$
Ta có hệ sau:
      $\left\{ \begin{array}{l} ab=1\\a+7b=8 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=\frac{1}{a}\\a+\frac{7}{a}=8 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=1 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} a=7\\ b=\frac{1}{7} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Suy ra:
$\left[ \begin{array}{l}\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)^x=1 \\\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)^x=7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0\\x=\frac{\ln7}{\ln(5-\sqrt{21})-\ln2} \end{array} \right.$

2.
Điều kiện: $x>-1$
Đặt: $\log_2(x+1)=3t\Rightarrow x+1=2^{3t}$
Từ đó suy ra:
      $3\log_3(2^{3t}+1)=6t$
$\Leftrightarrow \log_3(8^t+1)=2t$
$\Leftrightarrow 8^t+1=9^t$
$\Leftrightarrow \left(\frac{8}{9}\right)^t+\left(\frac{1}{9}\right)^t=1$
Xét hàm: $f(t)=\left(\frac{8}{9}\right)^t+\left(\frac{1}{9}\right)^t$
Ta có: $f'(t)=\ln\left(\frac{8}{9}\right)\left(\frac{8}{9}\right)^t+\ln\left(\frac{1}{9}\right)\left(\frac{1}{9}\right)^t<0,\forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow f(t)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(1)=1\Leftrightarrow t=1$
                         $\Leftrightarrow \log_2(x+1)=3\Leftrightarrow x=7$

1.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x>0\\10\log_2x+6\ge0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$.
Đặt: $t=\log_2x$, ta có:
$t+\sqrt{10t+6}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{10t+6}=-t$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t\le0\\10t+6=t^2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow t=5-\sqrt{31}$
$\Leftrightarrow x=2^{5-\sqrt{31}}$, thỏa mãn.

Ta có:
      $(n+2)(n+3)a_{n+1}=n(n+1)a_n+n(n+1)$
$\Leftrightarrow (n+1)(n+2)^2(n+3)a_{n+1}=n(n+1)^2(n+2)a_n+n(n+1)^2(n+2)$
Đặt: $n(n+1)^2(n+2)a_n=b_n$
Suy ra: $b_1=0$
và: $b_{n+1}=b_n+n(n+1)^2(n+2)$
$\Leftrightarrow b_{n+1}-\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(2n+3)}{10}=b_n-\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)(2n+1)}{10}$
Đặt: $c_n=b_n-\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)(2n+1)}{10}$
Suy ra: $c_1=0$ và $c_{n+1}=c_n$
$\Rightarrow c_n=0,\forall n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow b_n=\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)(2n+1)}{10},\forall n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow a_n=\frac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)},\forall n\in\mathbb{N}^*$
Từ đó suy ra: $a_{2010}=\frac{2009.4021}{10.2011}$

a)
Ta có: $X_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$.
Thật vậy: $X_1>0$.
Với $X_k>0\Rightarrow X_k^2+X_k+1>X_k^2-X_k+1$
$\Rightarrow X_{k+1}>0$
Theo quy nạp suy ra: $X_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$.
Lại có:
     $\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}$
$=\sqrt{\left(X_n+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}-X_n\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}$
$\ge\sqrt{\left(X_n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-X_n\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=2$
Suy ra:
$X_{n+1}=\frac{2X_n}{\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}}$
           $\le\frac{2X_n}{2}=X_n$
Suy ra: $X_n$ là dãy giảm và bị chặn dưới $\Rightarrow \exists \lim X_n$.

b) Giả sử: $\lim X_n=L$
Suy ra: $L=\sqrt{L^2+L+1}-\sqrt{L^2-L+1}\Leftrightarrow L=0$
Vậy: $\lim X_n=0$

Điều kiện: $\frac{3}{2}\le x\le\frac{50}{3}$
Đặt: $a=\sqrt{x+1};b=\sqrt{2x-3};c=\sqrt{50-3x}$
Ta có: $a^2+b^2+c^2=48$
Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
$(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=144$
$\Rightarrow a+b+c\le12$, thỏa mãn.
Vậy nghiệm bất phương trình là: $S=\left[\frac{3}{2};\frac{50}{3}\right]$

1)
Ta có:
     $\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x=(2\sqrt2)^x$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\right)^x=4^x$
$\Leftrightarrow (\sqrt5-\sqrt3)^x+(\sqrt5+\sqrt3)^x=4^x$
$\Leftrightarrow \left(\frac{\sqrt5-\sqrt3}{4}\right)^x+\left(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{4}\right)^x=1$
Xét hàm: $f(x)=\left(\frac{\sqrt5-\sqrt3}{4}\right)^x+\left(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{4}\right)^x$
Ta có:
$f'(x)=\ln\left(\frac{\sqrt5-\sqrt3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt5-\sqrt3}{4}\right)^x+\ln\left(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{4}\right)^x<0,\forall x\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra: $f(x)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(2)=1$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=2$.

Điều kiện: $x>0$.
Xét hàm: $f(x)=\log_3x+x-3$
Ta có: $f'(x)=\frac{1}{x\ln3}+1>0,\forall x>0$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$.
Suy ra $f(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Phương trình có nghiệm rất xấu và không có biểu diễn sơ cấp: $x\approx2.258448186954$

Ta có:
     $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
$=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)$
$\ge(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{2}{3}(a+b+c)^2$
Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
$P=\frac{1^2}{ab}+\frac{1^2}{bc}+\frac{1^2}{ca}+\frac{6^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}-\frac{32}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$
     $\ge\frac{81}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}-\frac{32}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2}=33$
Min$P=33\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 1:
Nhận thấy: $x=0$ không là nghiệm của phương trình.
Vì $x\ne0$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3}+y^3=9\\ \frac{y}{x^2}+\frac{y^2}{x}=-6 \end{array} \right.$
Đặt: $\frac{1}{x}=z$, hệ trở thành:
      $\left\{ \begin{array}{l} z^3+y^3=9\\ yz^2+y^2z=-6 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} yz(y+z)=-6\\ y^3+z^3+3yz(y+z)=-9 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=-\sqrt[3]{9}\\ yz=2\sqrt[3]{3} \end{array} \right.$, vô nghiệm.

Đặt: $\angle BOM=\alpha$
Suy ra: $MA=MO\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)$
             $MB=MO\sin\alpha$
             $OC=MO\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)$
Ta có:
$MA-MB=MO(\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)-\sin\alpha)$
                       $=2MO\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)\sin\frac{\pi}{6}$
                       $=MO\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=OC$
Suy ra: $OC=MA-MB$

a) Gọi số cần tím có dạng: $\overline{abc}$.
*) Nếu $a=1$ thì có 5 cách chọn $b$, 5 cách chọn $c$.
Có: $5.5=25$ số thỏa mãn.
*) Nếu $a=2$
Với $b=5$, không thỏa mãn.
Với $b=4$, có 3 cách chọn $c$.
Với $b\in\{1;2;3\}$, có 5 cách chọn $c$.
Có: $3+3.5=18$ số thỏa mãn.
Vậy tổng cộng có: $25+18=43$ số có 3 chữ số và không lớn hơn 243.

b) Gồm tất cả các số ở phần (a) trừ số 243.
Vậy có: 42 số có 3 chữ số và nhỏ hơn 243.