Giả sử các ghế được đánh số như hình sau:

a.
Để bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường thì
các ghế 1,3,5,8,10,12 là học sinh đến từ cùng 1 trường
và các ghế 2,4,6,7,9,11 là các học sinh đến từ trường còn lại.
Có 2 cách chọn nhóm ghế cho học sinh của các trường.
Trong mỗi trường, có $6!$ hoán vị của các học sinh trường đó.
Vậy có: $2.6!.6!=1036800$ cách xếp thỏa mãn.

Ta có:
     $(a+b)(a-b)^2\ge0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\ge(a+b)^3$
Suy ra:
$P\le\frac{4(a+b)^2}{(a+b)^3}=\frac{4}{a+b}\le2$, do $a,b\ge1$
Max$P=2\Leftrightarrow a=b=1$

Người thứ 2 luôn thắng.
Cách chơi: Khi người thứ nhất bốc $i$ cái thì người thứ 2 bốc $5-i$ cái.
Khi đó người thứ 2 sẽ luôn bốc được cái cuối cùng.

a.
Giả sử $AC\cap BD=\{I\},MD\cap SI=\{J\}$.
Suy ra $J$ là giao điểm của $MD$ và $(SAC)$.
Giả sử $CJ\cap SA=\{N\}$
Suy ra $N$ là giao điểm của $SA$ và $(MCD)$
b.
Ta có:
$AB=(ABCD)\cap(SAB)$
$MN=(SAB)\cap(MCD)$
$CD=(MCD)\cap(ABCD)$
Suy ra: $AB,MN,CD$ đồng quy.

Ta có:
$S=\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+\frac{7}{(3.4)^2}+\ldots+\frac{2n+1}{(n(n+1))^2}$
    $=\frac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+\ldots+\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2.(n+1)^2}$
    $=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$
    $=1-\frac{1}{(n+1)^2}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$1+\frac{1}{a}=\frac{a+1}{a}=\frac{a+a+b+c}{a}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2bc}}{a}$
Tương tự: $1+\frac{1}{b}\ge\frac{4\sqrt[4]{ab^2c}}{b},1+\frac{1}{c}\ge\frac{4\sqrt[4]{abc^2}}{c}$
Suy ra: $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\ge64$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$.

Đầu tiên, có $5!$ cách hoán vị cho $5$ học sinh nam.
Để không có $2$ học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau, ta sẽ chọn $3$ trong $6$ chỗ trống (gồm $4$ vị trí ở giữa các bạn nam và $2$ vị trí ở hai đầu) để cho các bạn nữ ngồi, số cách chọn này bằng: $C_6^3$.
Và có $3!$ cách hoán vị cho $3$ học sinh nữ.
Vậy tổng cộng có: $5!.C_6^3.3!=14400$ cách xếp thỏa mãn.

Điều kiện: $x\ge-\frac{10}{3}$
Ta có:
      $x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}$
$\Rightarrow (x^2+9x+20)^2=4(3x+10)$
$\Leftrightarrow x^4+18x^3+121x^2+348x+360=0$
$\Leftrightarrow (x+3)^2(x^2+12x+40)=0$
$\Leftrightarrow x=-3$, thỏa mãn.

Áp dụng BĐT Svacxơ ta có:
    $\frac{ab}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(c+a)}+\frac{ca}{b(a+b)}$
$=\frac{a^2b^2}{abc(b+c)}+\frac{b^2c^2}{abc(c+a)}+\frac{c^2a^2}{abc(a+b)}$
$\ge\frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)}$
$\ge\frac{3abc(ab+bc+ca)}{2abc(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

Vì: $0<A\le B\le C<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{\pi}{3}\le C<\frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\cos C\le\frac{1}{2}$
Ta có:
     $\frac{2\cos3C-4\cos2C+1}{\cos C}\ge2$
$\Leftrightarrow 2(4\cos^3C-3\cos C)-4(2\cos^2C-1)+1\ge2\cos C$
$\Leftrightarrow 8\cos^3C-8\cos^2C-8\cos C+5\ge0$
$\Leftrightarrow (2\cos C-1)(4\cos^2C-2\cos C-5)\ge0$, đúng với: $0<\cos C\le\frac{1}{2}$

Lấy $ K\in AB$ sao cho $ \angle BKC=\angle ABI$ (A nằm giữa B và K).
Ta sẽ chứng minh rằng:$ \frac {BF}{FK}=\frac {1}{2}$.
Ta có:$120^{o}= \angle B+ \angle C$
$ \Rightarrow 60^{o} =\frac {\angle B}{2}+\frac {\angle C}{2} \Rightarrow\angle ACK=\angle ICA$.
Kẻ $ AJ\perp AK ( J\in KC)$ và $ IM\perp BA(M \in BA)$
Ta có: $ \angle JAC=\angle CAI=30^{o}$ 
$ \Rightarrow \bigtriangleup JAC=\bigtriangleup IAC$.
$ \Rightarrow JA=AI=2IM$
Mặt khác: $ \bigtriangleup KAJ \thicksim \bigtriangleup BMI$
$ \Rightarrow \frac {BM}{AK}=\frac {IM}{AJ}= \frac {1}{2}$.
Mà $ \frac {MF}{FA}=\frac {MF}{FI}=\frac {1}{2}$.
Suy ra: $ \frac {BF}{FK}=\frac {BM+MF}{FA +AK}=\frac {1}{2}$, đpcm.

b)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{a_1a_2\ldots a_n}}$
$a_1+a_2+\ldots+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$
Suy ra:
$(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n})(a_1+a_2+\ldots+a_n)\ge n^2\Leftrightarrow \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\ge\frac{n^2}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$
Dấu bằng xảy ra khi: $a_1=a_2=\ldots=a_n$

a)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$
$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$
Suy ra: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\ge9\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

a)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$y^2+1\ge2y$
$z^3+1+1\ge3z$
Suy ra: $x+y^2+z^3+3\ge x+2y+3z\Leftrightarrow P\ge x+2y+3z-3$

Số cách chia mà tổ 1 và tổ 2 chỉ có 2 bạn nữ là: $C_7^2C_{26}^8C_5^2C_{18}^9C_3^3C_9^9$
Số cách chia mà tổ 1 và tổ 3 chỉ có 2 bạn nữ là: $C_7^2C_{26}^8C_5^2C_{18}^{10}C_3^3C_8^8$
Số cách chia mà tổ 2 và tổ 3 chỉ có 2 bạn nữ là: $C_7^2C_{26}^9C_5^2C_{17}^{10}C_3^3C_7^7$
Suy ra tổng số cách chia là:
$C_7^2C_{26}^8C_5^2C_{18}^9+C_7^2C_{26}^8C_5^2C_{18}^{10}+C_7^2C_{26}^9C_5^2C_{17}^{10}$