a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.

a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Cách 1:Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.Cách 2: (không dùng đạo hàm)Ta có: $\Delta=m^2+4>0\Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm $t_1, t_2$.Mà: $t_1t_2=1\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} |t_1|\le1\\|t_2|\le1 \end{array} \right.$, thỏa mãn.Suy ra: $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.

Bài toán 2: $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$\Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) = \pi x^2 + k2 \pi \\ \pi x^2 + 2x = \pi - \pi x^2 + k2\pi \end{matrix}} \right. $$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k \in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}} \right. $$\left( {\text{*}} \right)$Do $\begin{cases}\left( {\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z} \\\end{cases} $suy ra$\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

Bài toán 2: $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$\Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) = \pi x^2 + k2 \pi \\ \pi (x^2 + 2x) = \pi - \pi x^2 + k2\pi \end{matrix}} \right. $$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k \in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}} \right.$$ \left( {\text{*}} \right)$Do$ $$\begin{cases}\left( {\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z} \\\end{cases}$$ $suy ra$\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

Một số phương trình lượng giác khó và hay.

$\fbox{Bài toán 1.}$ Giải phương trình: $a)\,\sin^3x+\cos^3x=2-\sin^4x\\b)\,\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}=3\\c)\,\sin x+\tan\dfrac{x}{2}=2$$\fbox{Bài toán 2.}$ Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $$\cos\pi\left(x^2+2x-\dfrac{1}{2}\right)=\sin\pi x^2$$

Các dạng phương trình...

Một số phương trình lượng giác khó và hay.

$\fbox{Bài toán 1.}$ Giải phương trình: $a)\,\sin^3x+\cos^3x=2-\sin^4x\\b)\,\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}=3\\c)\,\sin x+\tan\dfrac{x}{2}=2$$\fbox{Bài toán 2.}$ Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: $$\cos\pi\left(x^2+2x-\dfrac{1}{2}\right)=\sin\pi x^2$$

Các dạng phương trình...

bài toán về dãy

cho dãy F(n) là dãy fibonacci.n,k là các số tự nhiên tùy ýCMR: phân số $\frac{k.u_{n+2}+u_{n}}{k.u_{n+3}+u_{n+1}} $ tối giản

Dãy số

bài toán về dãy

cho dãy F(n) là dãy fibonacci.n,k là các số tự nhiên tùy ýCMR: phân số $\frac{k.F_{n+2}+F_{n}}{k.F_{n+3}+F_{n+1}} $ tối giản

Dãy số

giải pt

Giải pt: $cotx-1=\frac{cos2x}{1+tanx}+sin^{2}x-\frac{1}{2}sin2x$

Phương trình lượng giác cơ bản

giải pt

Giải pt: $\cot x-1=\frac{\cos2x}{1+\tan x}+\sin^{2}x-\frac{1}{2}\sin2x$

Phương trình lượng giác cơ bản

Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:$\cos \left[ {\frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right) = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)$\Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 80x -40} = 3x - 20k$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9{x^2} + 80x -40 = \left( {3x - 20k} \right)^2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x- 20k \ge 0 \\ x = \frac{{10{k^2} +1}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9x = 30k - 20 + \frac{{49}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$ $\left( 1\right)$$\Rightarrow \frac{{49}}{{3k + 2}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{-17,-3; - 1}}} \right\}$ $\left(2 \right)$Từ $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được: $\left[ \begin{array} \left\{ \begin{array} k = -1 \\ x = - 11 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} k = - 17 \\ x = - 59 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} k = - 3 \\ x = - 13 \\ \end{array}\right.\end{array} \right.$Vậy: $x\in\{-11,-13,-59\}$

Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:$\cos \left[ {\frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right) = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)$\Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 80x -40} = 3x - 20k$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9{x^2} + 80x -40 = \left( {3x - 20k} \right)^2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x- 20k \ge 0 \\ x = \frac{{10{k^2} +1}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9x = 30k - 20 + \frac{{49}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$ $\left( 1\right)$$\Rightarrow \frac{{49}}{{3k + 2}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{-17,-3; - 1}}} \right\}$ $\left(2 \right)$Từ $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được: $\left[ \begin{array} \left\{ \begin{array} k = -1 \\ x = - 11 \\ \end{array} \right. &\textrm{(loại)} \\ \left\{ $$\begin{array} k = - 17 \\ x = - 59 \\ \end{array}$$ \right. \\ \left\{ $$\begin{array} k = - 3 \\ x = - 13 \\ \end{array}$$ \right.\end{array} \right.$Vậy:$x\in\{-13,-59\}$

Có: $C_10^5=252$ cách chọn $5$ chữ số khác nhau từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $252$ số thỏa mãn.

Có: $C_{10}^5=252$cách chọn$5$chữ số khác nhau từ tập$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có$252$ số thỏa mãn.

Có: $C_9^5=126$cách chọn$5$chữ số khác nhau từ tập$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều tăng dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $126$ số thỏa mãn.

Có: $C_10^5=252$cách chọn$5$chữ số khác nhau từ tập$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $252$ số thỏa mãn.

Chứng minh giúp em ạ

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ thỏa mãn: $a_1+a_2+\cdots+a_n=1.$Đặt $H_k=\frac{k}{1/a_1+1/a_2+\cdots+1/a_k}$với$k=1,2,\cdots, n$.Chứng minh rằng:$H_1+H_2+\cdots+H_n<2.$

Bất đẳng thức

Chứng minh giúp em ạ

Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ thỏa mãn: $a_1+a_2+\cdots+a_n=1.$Đặt $H_k=\frac{k}{\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_k}}$với$k=1,2,\cdots, n$.Chứng minh rằng:$H_1+H_2+\cdots+H_n<2.$

Bất đẳng thức

b)Ta có:$MA^2+2MB^2-3MC^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$ $=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$

b)Ta có:$MA^2+2MB^2-3MC^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$ $=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$ $=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng.Số phương án lấy ra 5 quả cầu là: $C_{18}^5=8568$Số phương án lấy ra 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng là: $C_8^3.C_{10}^2=2520$Suy ra: $P(B)=\frac{2520}{8568}=\frac{5}{17}$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng.Số phương án lấy ra 5 quả cầu là: $C_{18}^5=8568$Số phương án lấy ra 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng là: $C_8^3.C_{10}^2=2520$Suy ra: $P(A)=\frac{2520}{8568}=\frac{5}{17}$

a)Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu xanh.Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_5^2=10$Suy ra: $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$

a)Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu xanh.Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$Số phương án lấy ra 2 bi xanh là: $C_5^2=10$Suy ra: $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$

Toán 10 Giai và biện luận phương trình

Giai và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a và b $\begin {case} ax + y = 3 \\ x + ay = 3a \end {case}\begin {case} ax - y = b \\ bx + y = a \end {case}$

Giải và biện luận phương...

Toán 10 Giai và biện luận phương trình

Giai và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a và b $\begin{cases} ax + y = 3 \\ x + ay = 3a \end{cases}\begin{cases} ax - y = b \\ bx + y = a \end{cases}$

Giải và biện luận phương...

a)Phương trình tương đương với: $2\cos^2x+2\sqrt3\sin x\cos x=\cos x-\sqrt3\sin x$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x$$\Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{k2\pi}{3} \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

a)Phương trình tương đương với: $2\cos^2x-1+2\sqrt3\sin x\cos x=\cos x-\sqrt3\sin x $$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x$$ \Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$$ \Leftrightarrow \left[ $$\begin{array}{l} x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{k2\pi}{3} \end{array}$$ \right.,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$