Gọi số đó có dạng $\overline{abcde}$.
TH1: $a=1$.
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 2.
Các chữ số còn lại có: $8.7.6$ cách chọn.
Suy ra, có: $4.8.7.6=1344$ số loại này .
TH2: $a\ne1$.
Có 9 cách chọn $a$.
Có $C_4^2=6$ cách chọn vị trí cho  2 chữ số 1 và 2.
Các chữ số còn lại có: $7.6$ cách chọn
Suy ra, có: $9.6. 7.6=2268$ số loại này.

Vậy tổng cộng có: 3612 số thỏa mãn. 

$(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt.
$x^3-6x^2+9x-6=mx-2m-4$ 
$\Leftrightarrow (x-2)(x^2-4x+1-m)=0$ 
Phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$f(x)=x^2-4x+1-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'>0\\ f(2)\ne0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4-(1-m)>0\\ 2^2-4.2+1-m\ne0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-3\\ m\ne-3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m>-3$ 
Vậy $m>-3$ 

Phương trình tương đương với:
$\sqrt2 \sin(2x+\frac{\pi}{4})=\sqrt2 \sin3x$ 
$\Leftrightarrow \sin(2x+\frac{\pi}{4})=\sin3x $ 
$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} 2x+\frac{\pi}{4}=3x+2k\pi\\2x+\frac{\pi}{4}=\pi-3x+2k\pi \end{array} \right.                  (k\in\mathbb{Z})$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}-2k\pi\\x=\frac{3\pi}{20}+\frac{2k}{5}\pi \end{array} \right.                        (k\in\mathbb{Z})$ 

Dễ thấy $x=-3$ không là nghiệm của phương trình nên ta chỉ cần xét $x\ne-3$.
Khi đó, phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng:
$\sqrt{2x^2+1}=\frac{x^3+x+3}{x+3}$ 
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-1=\frac{x^3+x+3}{x+3}-1$ 
$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=\frac{x^2}{x+3}$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ \frac{2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=\frac{1}{x+3} \end{array} \right.$ 
Từ đây suy ra $x=0$ là một nghiệm của phương trình đã cho. 
Xét phương trình còn lại, ta thấy phương trình này tương đương với:
$\sqrt{2x^2+1}+1=2x+6$ 
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}=2x+5$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge\frac{-5}{2}\\2x^2+1=4x^2+20x+25 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge\frac{-5}{2}\\x^2+10x+12=0 \end{array} \right. $ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge\frac{-5}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} x=-5+\sqrt{13}\\x=-5-\sqrt{13} \end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-5+\sqrt{13}$ .
Vậy:  $x\in\{0,-5+\sqrt{13}\}$.

Dễ thấy $\cos\frac{x}{2}=0$ không là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế với $2\cos\frac{x}{2}$.
Khi đó, phương trình trở thành:
              $2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=10\cos^3x\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ 
              $\Leftrightarrow \sin3x+\sin2x=5\cos^3x\sin x$ 
              $\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^3x+2\sin x\cos x=5\cos^3x\sin x$ 
              $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0\\3-4\sin^2x+2\cos x=5\cos^3x \end{array} \right.$ 
              $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\frac{x}{2}=0\\ \cos\frac{x}{2}=0            \textrm{(loại)}\\5\cos^3x-4\cos^2x-2\cos x+1=0 \end{array} \right.$ 
              $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\frac{x}{2}=0\\ \cos x=1\\\cos x=\frac{-1+\sqrt{21}}{10}\\ \cos x=\frac{-1-\sqrt{21}}{10}  \end{array} \right.$ 
              $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2k\pi\\ x=\pm\arccos\frac{-1+\sqrt{21}}{10}+2k\pi\\ x=\pm\arccos\frac{-1-\sqrt{21}}{10}+2k\pi \end{array} \right.                            (k\in\mathbb{Z})$  

Phương trình tương đương với: $\sqrt[3]{3x-5}=(2x-3)^3-x+2                  (*)$
Đặt: $\sqrt[3]{3x-5}=2y-3              (**)$ , kết hợp với $(*)$ ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} (2y-3)^3=3x-5\\(2x-3)^3=x+2y-5 \end{array} \right.$ 
Trừ theo vế 2 phương trình trong hệ ta được:
$2(x-y)((2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2)=2(y-x)$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y                                                                                                                                                                         (i)\\(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1=0                         (ii) \end{array} \right.$ 
Dễ thấy $(ii)$ vô nghiệm vì:
$ (2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1=\Big(2x-3+\frac{1}{2}(2y-3)\Big)^2+1+\frac{3}{4}(2y-3)^2>0$ 
Thay $x=y$ ở $(i)$ vào $(**)$  ta được:
$(2x-3)^3=3x-5\Leftrightarrow (x-2)(8x^2-20x+11)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=2\\ x=\frac{5\pm\sqrt3}{4} \end{array} \right.$ 

Gọi $A_k$ là ngọn của cung $\alpha+\frac{2k\pi}{m}$, với $k=\overline{1,m+1}$.
Quy ước: $A_{1+m}\equiv A_1$ .
Với mọi $k=\overline{1,m}$  ta có: $\widehat{ A_kOA_{k+1}}=\frac{2\pi}{m}$.
Suy ra: $A_kA_{k+1}=2OA_k\sin\frac{\widehat{A_kOA_{k+1}}}{2}=2\sin\frac{\pi}{m},\forall k=\overline{1,m}$ .
Dẫn tới: $A_1A_2\ldots A_m$ là m-giác đều. 

Áp dụng công thức: $(2x+1)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i(2x)^i$
Hệ số của $x^5$ trong $(2x+1)^4$ là: $0$.
Hệ số của $x^5$ trong $(2x+1)^5$ là: $C_5^52^5$. 
Hệ số của $x^5$ trong $(2x+1)^6$ là: $C_6^52^5$. 
Hệ số của $x^5$ trong $(2x+1)^7$ là: $C_7^52^5$. 

Suy ra hệ số của $x^5$ trong $f(x)$ là: $C_5^52^5+C_6^52^5+C_7^52^5=896$

$\sin (\frac{3\pi}{5}+2x )=2\sin (\frac{\pi}{5}-x )$
$\Leftrightarrow \sin(\frac{2\pi}{5}-2x)=2\sin(\frac{\pi}{5}-x)$ 
$\Leftrightarrow 2\sin(\frac{\pi}{5}-x) \cos(\frac{\pi}{5}-x)=2\sin(\frac{\pi}{5}-x) $ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin(\frac{\pi}{5}-x)=0\\ \cos(\frac{\pi}{5}-x)=1 \end{array} \right.$ 
 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi}{5}-x=k\pi\\ \frac{\pi}{5}-x=2k\pi \end{array} \right.           (k\in\mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{5}-k\pi,k\in\mathbb{Z}.$ 

Chứng minh bất đẳng thức: $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[3]{i}}<\sum_{i=1}^{4n^2}\frac{1}{\sqrt{i}},\forall n\in\mathbb{Z}_+$

Ta có:
$\sum_{i=0}^{n}(C_n^i)^2=C_{2n}^n$ .
Thật vậy:
Xét biểu thức:  $(x+1)^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}a_ix^i$.
Ta có: $a_n=C_{2n}^n$.
Lại có: $(x+1)^{2n}=\Big(\sum_{i=0}^nC_n^ix^i\Big)^2$, nên: $a_n=\sum_{i=0}^nC_n^iC_n^{n-i}= \sum_{i=0}^{n}(C_n^i)^2$
Từ đó suy ra: $\sum_{i=0}^{n}(C_n^i)^2=C_{2n}^n$.

Quay lại bài toán:
$\sum_{i=0}^n\Big(\frac{C_n^i}{i+1}\Big)^2=\sum_{i=0}^n\Big(\frac{n!}{(i+1)!(n-i)!}\Big)^2$
                             $=\sum_{i=0}^n\Big(\frac{1}{n+1}C_{n+1}^i\Big)^2$
                             $=\frac{1}{(n+1)^2}\sum_{i=0}^n(C_{n+1}^i)^2=\frac{C_{2n+2}^{n+1}-1}{(n+1)^2}$

Bằng phương pháp xét hàm ta nhận được:
Min$P= \alpha\sqrt{1+\sqrt{1-\alpha^2}}+\sqrt{1-\alpha^2}\sqrt{1+\alpha}$, với: $\alpha=\frac{1}{6}\Big(-1-\sqrt{2}-\sqrt{15-2\sqrt2}\Big)$.
Dấu bằng xảy ra khi: $(x;y)\in\{(\alpha;\sqrt{1-\alpha^2}),(\sqrt{1-\alpha^2};\alpha)\}$ 

Ta có:
$\sum_{i=1}^{n}i^3=\Big(\frac{n(n+1)}{2}\Big)^2$ 
$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 
Ta có:
$\sum_{i=1}^{100}iC_{i+1}^2=\sum_{i=1}^{100}\frac{i^2(i+1)}{2}$
                   $=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{100}i^3+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{100}i^2$ 
                   $=\frac{1}{2}.\Big(\frac{100.101}{2}\Big)^2+\frac{1}{2}.\frac{100.101.201}{6}=12920425$ 

Điều kiện: $x\ge1$ hoặc $x\le\frac{-1}{\sqrt3}$
Áp dụng BDDT Bunhiacovski cho 2 bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$  ta có:
  $VT\le\sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$ 
Dấu bằng xảy ra khi: $x=-1$.
Do   $x\ge1$ hoặc $x\le\frac{-1}{\sqrt3}$ nên $5x^2-x>0$.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
  $VP=\frac{1}{2\sqrt2}[(5x^2-x)+2(x^2+2)]$ 
          $\ge\frac{1}{2\sqrt2}2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}= \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$ 
Dấu bằng xảy ra khi: $x\in\{-1,\frac{4}{3}\}$ .
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=-1$ .