|
|
giải đáp
|
giải hệ phương trình
|
|
|
|
Điều kiện: $-1\le x,y\le6$ Ta có: $(\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x})+(\sqrt{y+1}+\sqrt{6-y})=2\sqrt{14}$ Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: $(\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x})^2\le2(x+1+6-x)=14 \Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{6-x}\le\sqrt{14}$ Tương tự: $\sqrt{y+1}+\sqrt{6-y}\le\sqrt{14}$ Suy ra: $(\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x})+(\sqrt{y+1}+\sqrt{6-y})\le2\sqrt{14}$ Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{5}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình nhé
|
|
|
|
Điều kiện: $|x|\le\sqrt{10}$ Phương trình tương đương với: $(x+3)\sqrt{10-x^2}=(x+3)(x-4)$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x+3=0\\\sqrt{10-x^2}=x-4\end{array}\right.$ Phương trình thứ hai vô nghiệm vì: $\sqrt{10-x^2}\ge0, x-4<0$ Vậy: $x=-3$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải pt
|
|
|
|
Đặt $\tan x=t$, phương trình trở thành: $6t+\frac{5(1-3t^2)}{3t-t^3}=\frac{2t}{1-t^2}$ $\Leftrightarrow 6t^6-7t^4-8t^2+5=0$ $\Leftrightarrow (t^2+1)(3t^2-5)(2t^2-1)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\\t=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\pm\arctan\sqrt{\frac{5}{3}}+k\pi\\x=\pm\arctan\sqrt{\frac{1}{2}}+k\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải hpt
|
|
|
|
Cách 2: Điều kiện: $x,y\ge 0$ Suy ra: $x+1\ge 1\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt y\ge1$ Tương tự: $\sqrt{y+1}+\sqrt x\ge 1$ Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=0$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải hpt
|
|
|
|
Cách 1: Điều kiện: $x,y\ge0$ Ta có: $\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+(\sqrt{y+1}+\sqrt{y})=2\\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})-(\sqrt{y+1}-\sqrt{y})=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+(\sqrt{y+1}+\sqrt{y})=2\\\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y}}=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+(\sqrt{y+1}+\sqrt{y})=2\\\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{y+1}+\sqrt{y}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=1\\\sqrt{y+1}+\sqrt{y}=1\end{array}\right.$ Xét hàm: $f(t)=\sqrt{t+1}+\sqrt{t}, t\ge0$ Ta có: $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+1}}+\frac{1}{2\sqrt t}>0, \forall t>0$. Suy ra $f(t)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm. Mà $f(0)=1 \Rightarrow (x,y)=(0,0)$ |
|
|
|
giải đáp
|
bđt
|
|
|
|
Vì $0\le x\le 1 \Rightarrow \sqrt x\ge x^2$ Suy ra: $y \sqrt x+\frac{1}{4}\ge yx^2+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{yx^2.\frac{1}{4}}=x\sqrt y$ $\Rightarrow x\sqrt y-y\sqrt x\le \frac{1}{4}$ Dấu bằng xảy ra khi: $x=1,y=\frac{1}{4}$ |
|
|
|
giải đáp
|
tiêu đề là cái gì
|
|
|
|
Ta có: $3x(x+y+z)=yz\le\frac{(y+z)^2}{4}$ Đặt $y+z=t, t>0$, thì ta có: $12x^2+12tx-t^2\le0 \Leftrightarrow \frac{-6t-4\sqrt3t}{12}\le x\le\frac{-6t+4\sqrt3t}{12}$ $\Rightarrow x\le\frac{2\sqrt3-3}{6}t=\frac{2\sqrt3-3}{6}(y+z)$ |
|
|
|
giải đáp
|
giải hệ
|
|
|
|
Hệ tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}x^3+xy^2-yx^2-y^3=5\\x^3-xy^2+yx^2-y^3=9\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^3-y^3=7\\xy(x-y)=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x-y)[(x-y)^2+3xy]=7\\xy(x-y)=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x-y)^3=1\\xy(x-y)=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\xy=2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2,y=1\\x=-1,y=-2\end{array}\right.$ |
|
|
|
giải đáp
|
nhận dạng tam giác
|
|
|
|
$(p-a)\sin^2A+(p-b)\sin^2B=c\sin A\sin B$ $\Leftrightarrow (p-a)a^2+(p-b)b^2=abc$ $\Leftrightarrow (b+c-a)a^2+(c+a-b)b^2=2abc$ $\Leftrightarrow (a-b)^2(c-a-b)=0$ $\Leftrightarrow a=b$, hay $\Delta ABC$ cân tại $C$ |
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình
|
|
|
|
Điều kiện: $x>0,x\ne1$ Bất phương trình tương đương với: $(\frac{1}{\log_8x}+2\log_4x)\frac{1}{2}\log_22x\le0$ $\Leftrightarrow (\frac{3}{\log_2x}+\log_2x)(\log_2x+1)\le0$ $\Leftrightarrow \frac{(\log_2^2x+3)(\log_2x+1)}{\log_2x}\le0$ $\Leftrightarrow \frac{\log_2x+1}{\log_2x}\le0$ $\Leftrightarrow -1\le\log_2x<0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\le x<1$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính hộ em với
|
|
|
|
$I=I_1+I_2$, trong đó: $I_1=\int\limits_{-1}^0xe^{2x}dx,I_2=\int\limits_{-1}^0x\sqrt[3]{x+1}dx$ Ta có: $I_1=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^0xd(e^{2x})$ $=\frac{1}{2}\left(xe^{2x}\left|\begin{array}{l}0\\-1\end{array}\right.-\int\limits_{-1}^0e^{2x}dx\right)$ $=\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}e^{2x}\left|\begin{array}{l}0\\-1\end{array}\right.$ $=\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{-2}=\frac{3}{4e^2}-\frac{1}{4}$ $I_2=\int\limits_{-1}^0(x+1-1)\sqrt[3]{x+1}d(x+1)$ $=\int\limits_0^1t^{\frac{4}{3}}dt-\int\limits_0^1t^{\frac{1}{3}}dt$ $=\left(\frac{3}{7}t^{\frac{7}{3}}-\frac{3}{4}t^{\frac{4}{3}}\right)\left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.=\frac{-9}{28}$ Suy ra: $I=I_1+I_2=\frac{3}{4e^2}-\frac{4}{7}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Một bài tích phân nữa
|
|
|
|
b) Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} x=\ln x \Rightarrow du=\frac{dx}{x} \\ dv=(1+x)dx \Rightarrow v=x+\frac{x^2}{2} \end{array} \right. $ Lúc đó : $I=(x+\frac{x^2}{2} )\ln x \left|\begin{array}{l}e\\1\end{array}\right. -\int\limits_{1}^{e}(x^2+\frac{x^2}{2} )(\frac{1}{x} )dx$ $=(e^2+\frac{e^2}{2} )\ln e-0-\int\limits_{1}^{e}dx-\int\limits_{1}^{e}\frac{xdx}{2} $ $=(e+\frac{e^2}{2} )-x \left|\begin{array}{l}e\\1\end{array}\right. -\frac{x^2}{4} \left|\begin{array}{l}e\\1\end{array}\right. $ $=e+\frac{e^2}{2}-e(e-1)-\frac{1}{4}(e^2-1)=\frac{1}{4}(e^2+5)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Một bài tích phân nữa
|
|
|
|
a) Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=x \Rightarrow du=dx\\ dv=e^{-\frac{x}{3} }dx \Rightarrow v= \frac{1}{-\frac{1}{3} }e^{-\frac{x}{3} }=-3e^{-\frac{x}{3} } \end{array} \right. $ $\Rightarrow I=-3xe^{-\frac{x}{3} }\left|\begin{array}{l}3\\0\end{array}\right.+3 \int\limits_{0}^{3}e^{-\frac{x}{3} }dx=-9e^{-1}+0+3 \frac{1}{-\frac{1}{3} }e^{-\frac{x}{3} } \left|\begin{array}{l}3\\0\end{array}\right. =-\frac{18}{e}+9=\frac{9e-18}{e}$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm n
|
|
|
|
Ta có: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC^k_nx^k$ $\frac{a_{k-1}}{2}=\frac{a_k}{9}=\frac{a_{k+1}}{24}\Leftrightarrow \frac{C^{k-1}_n}{2}=\frac{C^k_n}{9}=\frac{C^{k+1}_n}{24}$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{2(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!}{9k!(n-k)!}=\frac{n!}{24(k+1)!(n-k-1)!}$ $\Leftrightarrow 2(k-1)!(n-k+1)!=9k!(n-k)!=24(k+1)!(n-k-1)!$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2(n-k+1)=9k\\9(n-k)=24(k+1)\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}k=\frac{2n+2}{11}\\k=\frac{3n-8}{11}\end{array}\right.$ $\Rightarrow 2n+2=3n-8 \Leftrightarrow n=10$ |
|