1,
Ta có: $\overrightarrow{AB}(0; 1; 0), \overrightarrow{AC}(0; 0; 1); \overrightarrow{AD}(1; 1; 0)$, suy ra:
$[\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=(1; 0; 0)(1;1;0)=1\neq 0$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD} $ không đồng phẳng
$\Leftrightarrow $ A, B, C, D không đồng phẳng
Ta có: $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|=\frac{1}{6}  $  

Bất đẳng thức tương đương với:
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$ 
Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:
$(a+b-c)(b+c-a)\le\left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$ 
$(b+c-a)(c+a-b)\le\left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$  
$(c+a-b)(a+b-c)\le\left(\frac{c+a-b+a+b-c}{2}\right)^2=a^2$  
Nhân 3 BĐT trên lại ta có đpcm. 

Điều kiện: $m\ne-2$
Phương trình có 2 nghiệm dương $x_1 ,x_2$ khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (2m-5)^2-4(m+2)(m-4)>0\\ \frac{2m-5}{m+2}>0\\\frac{m-4}{m+2}>0\end{array} \right.$
                                 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 57-12m>0\\ \left[\begin{array}{l} m>4\\m<-2 \end{array} \right.\end{array} \right.$ 
                                 $\Leftrightarrow 4<m<\frac{19}{4}$ 

Ta có:
$x_1^6+x_2^6=(x_1^2+x_2^2)^3-3(x_1^2+x_2^2)x_1^2x_2^2$ 
                  $=(S^2-2P)^3-3(S^2-2P)P^2$ 

Lời giải đây bạn nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113849/cho-hoi-bai-hinh-nay-cac-ad-oi  

Ta thấy: $0<x,y,z<\pi$
Suy ra tồn tại $\triangle ABC$, sao cho: $A=x,B=y,C=z$ .
Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$
Ta có: $ \frac{\sin x}{1}= \frac{\sin y}{\sqrt{3}}=\frac{\sin z}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{1}= \frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{c}{2}$ 
Chọn: $a=1,b=\sqrt3,c=2$ .
Vì $a^2+b^2=c^2$ suy ra $\triangle ABC$ vuông tại $C$. 
Suy ra: $z=C=\frac{\pi}{2}$ 
              $\sin x=\sin A=\frac{a}{c}=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$ 
              $\sin y=\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow y=\frac{\pi}{3}$   

Đặt $S_n=\frac{1^{4}}{1.3}+\frac{2^{4}}{3.5}+....+\frac{n^{4}}{(2n-1)(2n+1)}$
Ta chứng minh $S_n=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}, \forall n\ge 1$ 
*) Với $n=1$, ta có: $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1.2.3}{6.3}$, đúng.
*) Giả sử mệnh đề đúng với $n=k,k\ge 1$, tức $ S_k=\frac{k(k+1)(k^2+k+1)}{6(2k+1)} $ 
Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$ 
Ta có:
$S_{k+1}=S_k+\frac{(k+1)^4}{(2k+1)(2k+3)}$ 
            $= \frac{k(k+1)(k^2+k+1)}{6(2k+1)}+\frac{(k+1)^4}{(2k+1)(2k+3)} $ 
            $=\frac{(k+1)[k(k^2+k+1)(2k+3)+6(k+1)^3]}{6(2k+1)(2k+3)}$ 
            $=\frac{(k+1)(2k^4+11k^3+23k^2+21k+6)}{6(2k+1)(2k+3)}$  
            $=\frac{(k+1)(k+2)(2k+1)(k^2+3k+3)}{6(2k+1)(2k+3)}$ 
            $=\frac{(k+1)(k+2)[(k+1)^2+(k+1)+1]}{6(2k+3)}$ , đpcm.
Vậy: $S_n=\frac{n(n+1)(n^2+n+1)}{6(2n+1)}, \forall n\ge 1$  

Ta có:
$\frac{x^3}{y+z}+\frac{y+z}{2}+2\ge3\sqrt[3]{ \frac{x^3}{y+z}.\frac{y+z}{2}.2 }=3x$ 
Tương tự:   $\frac{y^3}{x+z}+\frac{x+z}{2}+2\ge3y$ 
                    $\frac{z^3}{x+y}+\frac{x+y}{2}+2\ge3y$  
Suy ra: $A\ge 2(x+y+z)-6\ge6$ 
Min $A=6 \Leftrightarrow x=y=z=2$ 

b)
*) Với $m=1$, ta có: $5x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$ 
*) Với $m\ne 1$ , ta xét: $\Delta=(2m+3)^2-4(m-1)(m-3)=28m-3$
Nếu $28m-3<0\Leftrightarrow m<\frac{3}{28}$ , phương trình vô nghiệm.
Nếu $28m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{28}$,  phương trình có nghiệm kép:
                                             $x_1=x_2=\frac{-(2m+3)}{2(m-1)}=\frac{9}{5}$
Nếu $28m-3>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{28}$,  phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
                  $x_1=\frac{-(2m+3)+\sqrt{28m-3}}{2(m-1)},  x_2=\frac{-(2m+3)-\sqrt{28m-3}}{2(m-1)} $ 

Điều kiện: $x\ne\pm1$.
Phương trình tương đương với:
$(x-m)(x-1)+(2x+1)(x+1)=3(x+1)(x-1)$ 
$\Leftrightarrow x^2-mx-x+m+2x^2+3x+1=3x^2-3$ 
$\Leftrightarrow (m-2)x=m+4$               (*)
Phương trình đã cho vô nghiệm khi (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm thuộc $\{-1;1\}$
*) Với $m=2$, ta có: $0x=6$, vô nghiệm
*) Với $m\ne 2$, ta có: $x=\frac{m+4}{m-2}$
Ta có: $\left[ \begin{array}{l} x=1\\x=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m+4=m-2\\m+4=2-m \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1$
Vậy phương trình vô nghiệm với: $m\in\{2;-1\}$ 

a)
Phương trình tương đương với:
      $(m^2-2m-3)x=m^2-m-2$ 
$\Leftrightarrow (m+1)(m-3)x=(m+1)(m-2)$ 
*) Với  $m=-1$, ta có: $0x=0$, đúng với $\forall x\in\mathbb{R}$.
*) Với $m=3$, ta có: $0x=4$ , vô nghiệm
*) Với $m\notin\{-1;3\}$ , phương trình có nghiệm duy nhất: $x=\frac{m-2}{m-3}$

*) Điều kiện cần:
Nhận xét:
Nếu $x=x_0$ là nghiệm thì $x=-x_0$ cũng là nghiệm.
Để phương trình có 1 nghiệm thì: $x_0=-x_0\Leftrightarrow x_0=0$ 
Từ đó suy ra: $m=0 $
*) Điều kiện đủ:
Với $m=0$ , phương trình trở thành:
       $3x^4+x^2=0$
$\Leftrightarrow x^2(3x^2+1)=0$ 
$\Leftrightarrow x=0$ , thỏa mãn.
Vậy $m=0$ .