Vì $0\le\sin^2x,\cos^2x\le1$, ta có:
$11\cos^{2008}x\le11\cos^2x\le2012\cos^2x$
$2012\sin^{2010}x\le2012\sin^2x$
Suy ra: $11\cos^{2008}x+2012\sin^{2012}x\le 2012(\sin^2x+\cos^2x)=2012$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\left\{ \begin{array}{l} \cos x=0\\\sin^2x=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Lấy logarit 2 vế ta có: $(x^2+2x)\ln(x^2-x+1)\le0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2+2x=0\\\ln(x^2-x+1)=0\\\left\{ \begin{array}{l} x^2+2x>0\\\ln(x^2-x+1)<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x^2+2x<0\\\ln(x^2-x+1)>0\end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0\\x=-2\\x=1\\\left\{ \begin{array}{l} x^2+2x>0\\0<x^2-x+1<1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x^2+2x<0\\x^2-x+1>1\end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\x=-2\\x=1\\0<x<1\\-2<x<0\end{array} \right. \Leftrightarrow -2\le x\le 1$

Điều kiện: $x\ge0$
Xét hàm: $f(x)=x^3+\sqrt x-66, x\ge0$
Ta có: $f'(x)=3x^2+\frac{1}{2\sqrt x}>0,\forall x>0$
Suy ra $f$ tăng trên $(0,+\infty)$
Dẫn tới phương trình $f(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(4)=0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=4$

Bổ đề:
Với $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n>0$, ta có:
$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n}\ge\frac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n}$

Áp dụng ta có:
$\frac{4}{a+3b}+\frac{2}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}=\frac{16}{4(a+3b)}+\frac{4}{2(b+3c)}+\frac{1}{c+3a}$
                                                      $\ge\frac{49}{7a+14b+7c}=\frac{7}{a+2b+c}$
Tương tự:
$\frac{1}{a+3b}+\frac{4}{b+3c}+\frac{2}{c+3a}\ge\frac{7}{a+b+2c}$
$\frac{2}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{4}{c+3a}\ge\frac{7}{2a+b+c}$
Cộng các BĐT trên lại ta được đpcm.

Đặt $x^2=t,t\ge0$.
Ta có: $y=f(t)=t^2-2(m-2)t+2m+3$
Để đồ thị hàm số đã cho cắt $Ox$ tại 4 điểm phân biệt thì:
Phương trình $f(t)=0$ có 2 nghiệm dương $0<t_1<t_2$:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'>0\\t_1+t_2>0\\t_1t_2>0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^2-6m+1>0\\2(m-2)>0\\2m+3>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow m>3+2\sqrt2             (1)$
4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}$
$\Leftrightarrow t_2=9t_1$
Mà $t_1+t_2=2(m-2)\Rightarrow t_1=\frac{m-2}{5},t_2=\frac{9(m-2)}{5}$
       $t_1t_2=2m+3\Rightarrow \frac{9(m-2)^2}{25}=2m+3 \Leftrightarrow m=\frac{1}{9}(43\pm10\sqrt{22})$
Kết hợp với $(1)$ ta có: $m=\frac{1}{9}(43+10\sqrt{22})$

d)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\sin2x\ne0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{2}$
Phương trình tương đương với:
    $\left(\frac{\sin x\cos2x}{\cos x\sin2x}-1\right)\cos4x=-\frac{1}{2}\left((\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\right)$
$\Leftrightarrow \frac{-\sin x}{\cos x\sin2x}\cos4x=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\sin^22x\right)$
$\Leftrightarrow \frac{\cos4x}{\cos^2x}=\frac{1+\cos^22x}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{2(2\cos^2x-1)^2-1}{\cos^2x}=\frac{1+(2\cos^2x-1)^2}{2}$
$\Leftrightarrow 2\cos^6x-10\cos^4x+9\cos^2x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos^2x=1&\textrm{(loại)}\\\cos^2x=\frac{4+\sqrt{14}}{2}&\textrm{(loại)}\\\cos^2x=\frac{4-\sqrt{14}}{2} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \cos 2x=14-4\sqrt{14}$
$\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{2}\arccos(14-4\sqrt{14})+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.

c)
Phương trình tương đương với:
     $3\cos^2x+2\sqrt3\sin x\cos x+\sin^2x=3(\sqrt3\cos x+\sin x)$
$\Leftrightarrow (\sqrt3\cos x+\sin x)^2=3(\sqrt3\cos x+\sin x)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt3\cos x+\sin x=0\\\sqrt3\cos x+\sin x=3&\textrm{(vô nghiệm)}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=0$
$\Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{3})=0$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

b)

c)
Phương trình tương đương với:
$\sin\left(\frac{3\pi}{10}-\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\sin\left (\frac{9\pi}{10}-\frac{3x}{2} \right )$
Đặt: $\frac{3\pi}{10}-\frac{x}{2}=t$, ta có:
      $\sin t=\frac{1}{2}\sin3t$
$\Leftrightarrow 2\sin t=3\sin t-4\sin^3t$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin t=0\\\sin t=\frac{1}{2}\\\sin t=\frac{-1}{2} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=k\pi\\t=\pm\frac{\pi}{6}+k2\pi\\t=\pm\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{3\pi}{5}-k\pi\\x=\frac{4\pi}{15}-k4\pi\\x=\frac{14\pi}{15}-k4\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$

a)
Phương trình tương đương với:
     $2\cos^2x-1+2\sqrt3\sin x\cos x=\cos x-\sqrt3\sin x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x$
$\Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{k2\pi}{3} \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

c) Phương trình tương đương với:
     $\sin^2x+\sin x\cos3x+\cos^23x=\frac{3}{4}(\sin^2x+\cos^2x)$
$\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\sin x+\cos3x\right)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)^2$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\sin x+\cos3x=\frac{\sqrt3}{2}\cos x\\\frac{1}{2}\sin x+\cos3x=-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\\cos(3x+\pi)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=x+\frac{\pi}{6}+k2\pi\\3x=-x-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\3x+\pi=x-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\3x+\pi=-x+\frac{\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\frac{-\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\\x=\frac{-7\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{-5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$

a) Điều kiện: $\displaystyle \sin2x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$.
Phương trình tương đương với:
      $\displaystyle 2(\tan x-\sin 2x)+\left(\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{\sin 2x}\right)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (\tan x-\sin2x)\left(2-\frac{1}{\tan x\sin 2x}\right)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (\tan x-\sin2x)\left(2-\frac{1}{2\sin^2x}\right)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\sin2x\\ 4\sin^2x=1 \end{array} \right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}\\2(1-\cos 2x)=1 \end{array} \right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=0\\\tan x=1\\\tan x=-1\\\cos2x=\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi\\x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$.
Kết hợp với điều kiện ta có: $\displaystyle x\in\{\pm\frac{\pi}{4}+k\pi,\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$

Phương trình luôn có nghiệm $x=-1$.
Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$ thỏa mãn.

2,
Giả sử mặt cầu (S) có dạng:
$(S): x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ điều kiện: $a^2+b^2+c^2-d>0$
Điểm A, B, C, D $\in$ (S) ta được:
$\begin{cases}3-2a-2b-2c+d=0 \\ 6-2a-4b-2c+d=0\\6-2a-2b-4c+d=0\\9-4a-4b-2c+d=0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}a=b=c=\frac{3}{2} \\ d=6 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình mặt cầu (S) có dạng:$(S): x^2+y^2+z^2-3x-3y-3z+6=0$