Ta có:
     $(3+2\sqrt{2} )^x+(3-2\sqrt{2} )^x=6^x$
$\Leftrightarrow (\frac{3+2\sqrt{2}}{6} )^x+(\frac{3-2\sqrt{2}}{6} )^x=1$
Xét hàm: $f(x)=(\frac{3+2\sqrt{2}}{6} )^x+(\frac{3-2\sqrt{2}}{6} )^x$
$f'(x)=(\frac{3+2\sqrt{2}}{6} )^x\ln(\frac{3+2\sqrt{2}}{6} )+(\frac{3-2\sqrt{2}}{6} )^x\ln(\frac{3-2\sqrt{2}}{6} )<0$
Suy ra: $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Nên $f(x)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(1)=1$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: $x=1$

Ta có:
$I=\int\limits_{0}^{2}x\sqrt{(x^2+4)^3} dx$
   $=\frac{1}{2}\int\limits_0^2\sqrt{(x^2+4)^3}d(x^2+4)$
   $=\frac{1}{2}\int\limits_4^8\sqrt{t^3}dt$
   $=\frac{1}{5}\sqrt{t^5}\left|\begin{array}{l}8\\4\end{array}\right.=\frac{128\sqrt2-32}{5}$

Ta có:
$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{9z^2-5z}{2}$
Từ đó suy ra:
     $(x+y)^3-3xy(x+y)=9z$
$\Leftrightarrow 27z^3-9z\frac{9z^2-5z}{2}=9z$
$\Leftrightarrow 3z^3-5z+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z=0\\z=1\\z=\frac{2}{3} \end{array} \right.$
*) Với $z=0$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ xy=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=0$
*) Với $z=1$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=3\\ xy=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2;y=1\\ x=1;y=2 \end{array} \right.$
*) Với $z=\frac{2}{3}$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=2\\ xy=\frac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{3+\sqrt6}{3};y=\frac{3-\sqrt6}{3}\\x=\frac{3-\sqrt6}{3};y=\frac{3+\sqrt6}{3} \end{array} \right.$

2.
Điều kiện: $6x^2-6x+5\ge0$
Đặt: $\sqrt{6x^2-6x+5}=t,t\ge0$.
Phương trình trở thành:
     $t^2-(4x-1)t-4x=0$
$\Leftrightarrow (t-4x)(t+1)=0$
$\Leftrightarrow t=4x$
$\Leftrightarrow \sqrt{6x^2-6x+5}=4x$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge0\\6x^2-6x+5=16x^2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge0\\10x^2+6x-5=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}(\sqrt{59}-3)$

Ta có:
    $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\sin^2x$
$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m(1+\cos x)(1-\cos x)$
$\Leftrightarrow (\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1\\\cos2x=m \end{array} \right.$
Phương trình: $\cos x=-1$ không có nghiệm $x\in[0;\frac{2\pi}{3}]$
Phương trình: $\cos 2x=m$ có 1 nghiệm $x\in[0;\frac{2\pi}{3}]$ khi và chỉ khi $\frac{-1}{2}<m\le 1$

Gọi $(O)$ và $(O')$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$.
Do tứ giác $BCC'B'$ nội tiếp, suy ra:
$\overline{IB}.\overline{IC}=\overline{IB'}.\overline{IC'}\Leftrightarrow \mathscr{P}(I/(O))=\mathscr{P}(I/(O'))$
Tương tự: $\mathscr{P}(J/(O))=\mathscr{P}(J/(O'))$
                  $\mathscr{P}(K/(O))=\mathscr{P}(K/(O'))$
Từ đó suy ra: $I,J,K$ thẳng hàng.

Ta có:
$\frac{1}{\sin A}+\cot A=\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{1}{\displaystyle\tan \frac{A}{2}}$
$\Rightarrow \tan\frac{A}{2}=\frac{c-b}{a}\Rightarrow c>b$
Từ đó ta có:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos A=\frac{\displaystyle1-\tan^2\frac{A}{2}}{\displaystyle1+\tan^2\frac{A}{2}}=\frac{\displaystyle1-\frac{(c-b)^2}{a^2}}{\displaystyle1+\frac{(c-b)^2}{a^2}}$
$\Rightarrow \frac{(b^2-c^2)^2-a^4}{bc(a^2+(b-c)^2)}=0$
$\Leftrightarrow a^4=(b^2-c^2)^2$
$\Leftrightarrow a^2=c^2-b^2\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$.

Ta có:
$\cot 2C= \frac{1}{2}(\cot C - \cot B)$
 $\Leftrightarrow \frac{1-\tan^2C}{2\tan C}=\frac{1}{2}(\cot C - \cot B)$
 $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cot C - \tan C)=\frac{1}{2}(\cot C - \cot B)$
 $\Leftrightarrow \tan C=\cot B$
 $\Leftrightarrow B+C=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.

Ta có:
      $S=\frac{1}{ 4}a^2.\sin 2B$
 $\Leftrightarrow \frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}a^2\sin B\cos B$
 $\Leftrightarrow c=a.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$
 $\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.

Theo định lý hàm số cos ta có:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
     $=(b-c)^2+2bc(1-\cos A)$
     $=(b-c)^2+4bc\sin^2\frac{A}{2}\ge4bc\sin^2\frac{A}{2}$
Suy ra: $\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}$
Tương tự: $\sin\frac{B}{2}\le\frac{b}{2\sqrt{ac}}$
$\Rightarrow \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\le\frac{\sqrt{ab}}{4c}$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$, hay $\Delta ABC$ đều.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{4}{3}=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}$
     $\leq x+\frac{x+4y}{4}+\frac{x+4y+16z}{12}=\frac{4(x+y+z)}{3}$
Suy ra: $x+y+z\ge1$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=4y=16z \\ x+y+z=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{16}{21} \\ y= \frac{4}{21} \\z =\frac{1}{21}\end{cases}$.

Ta có:
      $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2-8xy^2-xy+4y^3=0\\ 16x^3+2x-8y^2+5=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x-4y^2)(2x-y)=0\\16x^3+2x-8y^2+5=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=4y^2\\ 1024x^6+8y^2-8y^2+5=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} 2x=y\\ 2y^3+y-8y^2+5=0 \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{4}(3-\sqrt{19})\\ y=\frac{1}{2}(3-\sqrt{19}) \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{4}(3+\sqrt{19})\\ y=\frac{1}{2}(3+\sqrt{19}) \end{array} \right. \end{array} \right.$

Ta có:
      $\left\{ \begin{array}{l} xy+x-2=0\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy+x-2=0\\ (y-x^2)(y-2x-1)=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y=x^2\\x^3+x-2=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} y=2x+1\\ x(2x+1)+x-2=0 \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=1 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}(-1-\sqrt5)\\ y=-\sqrt5 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt5)\\ y=\sqrt5 \end{array} \right. \end{array} \right.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bạn xem ở đây nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113933/do-a-minh-do-con-treo-thuong-co-khong-cho-ad-tham-gia-nhe