Ta có:
    $
a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$
$\Rightarrow {\left( {a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC} } \right)^2} = 0$
$\Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} + 2ab\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + 2bc\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC}  + 2ac\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA}  = 0$
$\Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} + ab\left( {I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}} \right) + bc\left( {I{B^2} + I{C^2} - B{C^2}} \right) + ca\left( {I{C^2} + I{A^2} - C{A^2}} \right) = 0$
$\Rightarrow \left( {{a^2} + ab + ac} \right)I{A^2} + \left( {{b^2} + ba + bc} \right)I{B^2} +  \left( {{c^2} + ca + cb} \right)I{C^2} - \left( {ab{c^2} + a{b^2}c + {a^2}bc} \right) = 0$
$\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)abc$
$\Rightarrow aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2} = abc$
$\Rightarrow \frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ca}+\frac{IC^2}{ab}=1$

a)

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp.
Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ có $AB_2//CC_1$ và $AC_2//BB_1$, ta được:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {I{B_2}}  + \overrightarrow {I{C_2}}   (1) \\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{I{B_2}}}{{IB}} = \frac{{{C_1}A}}{{{C_1}B}} = \frac{b}{a}}\\
{\overrightarrow {I{B_2}}  \uparrow \downarrow \overrightarrow {IB} }
\end{array}} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {I{B_2}}  =  - \frac{b}{a}\overrightarrow {IB} \,\,\,\,(2)\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{I{C_2}}}{{IC}} = \frac{{{B_1}A}}{{{B_1}C}} = \frac{c}{a}}\\
{\overrightarrow {I{C_2}}  \uparrow \downarrow \overrightarrow {ICB} }
\end{array}} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {I{C_2}}  =  - \frac{c}{a}\overrightarrow {IC\,} \,\,\,(3)
\end{array}$
Thay $(2), (3)$ vào $(1)$ ta được: $\overrightarrow {IA}  =  - \frac{b}{a}\overrightarrow {IB}  - \frac{c}{a}\overrightarrow {IC}  \Leftrightarrow a.\overrightarrow {IA}  + b.\overrightarrow {IB}  + c.\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$
Mà $a.\overrightarrow {MA}  + b.\overrightarrow {MB}  + c.\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$
Suy ra: $(a+b+c)\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\Rightarrow M\equiv I$

Bạn xem ở đây nhá:

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113830/giup-minh-cai-he-nay

Bạn xem ở đây nhá:

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114003/giup-minh-nhe-moi-nguoi

Bạn xem ở đây nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114004/bai-nua-nhe-moi-nguoi

Từ hệ suy ra:
     $20y^2(x^2-y^2)=3x^2(x^2+y^2)$
$\Leftrightarrow 3x^4-17x^2y^2+20y^4=0$
$\Leftrightarrow (x^2-4y^2)(3x^2-5y^2)=0$
$\Leftrightarrow (x+2y)(x-2y)(\sqrt3x-\sqrt5y)(\sqrt3x+\sqrt5y)=0$
*) Với $x+2y=0\Rightarrow (x,y)=(0;0)$
*) Với $x-2y=0\Rightarrow (x,y)\in\{(0;0),(2;1),(-2;-1)\}$
*) Với $\sqrt3x-\sqrt5y=0\Rightarrow (x,y)\in\{(0;0),(\frac{1}{2}\sqrt[4]{375};\frac{1}{2}\sqrt[4]{135}),(-\frac{1}{2}\sqrt[4]{375};-\frac{1}{2}\sqrt[4]{135})\}$
*) Với $\sqrt3x+\sqrt5y=0\Rightarrow (x,y)=(0;0)$

c)
Gọi C là biến cố phương trình có nghiệm nguyên.
Số khả năng của $b$ là: 6.
Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm nguyên là: 1 $(b=3)$
Vậy: $P(C)=\frac{1}{6}$

b)
Gọi B là biến cố phương trình vô nghiệm.
Phương trình có nghiệm khi: $\Delta<0\Leftrightarrow b^2-8<0\Rightarrow b<3$.
Số khả năng của $b$ là: 6.
Số khả năng của $b$ để phương trình vô nghiệm là: 2 $(b\in\{1;2\})$
Vậy: $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

a)
Gọi A là biến cố phương trình có nghiệm.
Phương trình có nghiệm khi: $\Delta\ge0\Leftrightarrow b^2-8\ge0\Rightarrow b\ge3$.
Số khả năng của $b$ là: 6.
Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm là: 4 $(b\in\{3;4;5;6\})$
Vậy: $P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng.
Số phương án lấy ra 5 quả cầu là: $C_{18}^5=8568$
Số phương án lấy ra 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng là: $C_8^3.C_{10}^2=2520$
Suy ra: $P(A)=\frac{2520}{8568}=\frac{5}{17}$

b)
Gọi B là biến cố lấy được 3 viên bi xanh.
Số phương án lấy ra 3 bi là: $C_7^3=35$
Số phương án lấy ra 3 viên bi xanh là: $C_4^3=4$
Suy ra: $P(B)=\frac{4}{35}$

a)
Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.
Số phương án lấy ra 3 bi là: $C_7^3=35$
Số phương án lấy ra 2 bi đỏ, 1 viên bi xanh là: $C_3^2.C_4^1=12$
Suy ra: $P(A)=\frac{12}{35}$

b)
Gọi B là biến cố lấy được 2 bi màu đỏ.
Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$
Số phương án lấy ra 2 bi đỏ là: $C_3^2=3$
Suy ra: $P(B)=\frac{3}{28}$

a)
Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu xanh.
Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$
Số phương án lấy ra 2 bi xanh là: $C_5^2=10$
Suy ra: $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$

Điều kiện: $2x^2-1\ge0$.
Bình phương 2 vế ta được:
      $100x^4+60x^3-11x^2-36x+36=72x^4+48x^3-28x^2-24x-4$
$\Leftrightarrow 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$
$\Leftrightarrow (4x^2+4x-5)(7x^2-4x-8)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{-1+\sqrt6}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt6}{2}&\textrm{,loại}\\ x=\frac{2+2\sqrt{15}}{7}\\x=\frac{2-2\sqrt{15}}{7} \end{array} \right.$