|
|
sửa đổi
|
Toán lớp 9
|
|
|
|
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b$ với $a^2+b^2$3.Giải hệ phương trình trên tập số thực:Phương trình (1): $(x-y)^2 + \frac{2.x^2.y^2}{(x+y)^2}=0$Phương trình (2): $x+y=xy+1$4.Cho $ab+bc+ca=2$ với $a;b;c$ là các số thực không âm. Tìm Min:$A=\frac{1}{ c+1}+\frac{1}{(a^2+1)(b^2+1)-(a-b)^2+1}$
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b$ với $a^2+b^2$3.Giải hệ phương trình trên tập số thực:Phương trình (1): $(x-y)^2 + \frac{2.x^2.y^2}{(x+y)^2}=0$Phương trình (2): $x+y=xy+1$4.Cho $ab+bc+ca=2$ với $a;b;c$ là các số thực không âm. Tìm Min:$A=\frac{1}{1 -c}+\frac{1}{(a^2+1)(b^2+1)-(a-b)^2+1}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Toán lớp 9
|
|
|
|
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b$ với $a^2+b^2$3.Giải hệ phương trình trên tập số thực:Phương trình (1): $(x-y)^2 + \frac{2.x^2.y^2}{(x+y)^2}=0$Phương trình (2): $x+y=xy+1$
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b$ với $a^2+b^2$3.Giải hệ phương trình trên tập số thực:Phương trình (1): $(x-y)^2 + \frac{2.x^2.y^2}{(x+y)^2}=0$Phương trình (2): $x+y=xy+1$ 4.Cho $ab+bc+ca=2$ với $a;b;c$ là các số thực không âm. Tìm Min:$A=\frac{1}{c+1}+\frac{1}{(a^2+1)(b^2+1)-(a-b)^2+1}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Toán lớp 9
|
|
|
|
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b với a^2+b^2$
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b $ với $a^2+b^2$ 3.Giải hệ phương trình trên tập số thực:Phương trình (1): $(x-y)^2 + \frac{2.x^2.y^2}{(x+y)^2}=0$Phương trình (2): $x+y=xy+1$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Toán lớp 9
|
|
|
|
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$ 2.Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a^3+b^3+8=6ab$.Tìm mối liên hệ $a.b với a^2+b^2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Toán lớp 9
|
|
|
|
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}- \frac{(x -1)(x+1)}{x}$
Toán lớp 9 1. Cho $x$ là số thỏa mãn đẳng thức: $x^3+\sqrt{2}=3.(2.\sqrt{2}-x^2) +3.(2-x)$Tìm giá trị của A: $A=\frac{(x+1)^2}{2x}-x$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Đại số 9
|
|
|
|
Nhận xét: $P=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} + \frac{3}{x-2} = 1+ \frac{3}{x-2}$Nên, $T=P.x=x+\frac{3x}{x-2}=x+\frac{3x-6+6}{x-2}=x+\frac{3.(x-2)}{x-2}+\frac{6}{x-2}=x+3+\frac{6}{x-2}$Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm: $a +\frac{k}{a} \geq 2.\sqrt{k}$Nên, $T = x-2+\frac{6}{x-2} +5 \geq 2.\sqrt{6}+5$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x-2)^2=6$ hay $x=\sqrt{6}+2$
Nhận xét: $P=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} + \frac{3}{x-2} = 1+ \frac{3}{x-2}$Nên, $T=P.x=x+\frac{3x}{x-2}=x+\frac{3x-6+6}{x-2}=x+\frac{3.(x-2)}{x-2}+\frac{6}{x-2}=x+3+\frac{6}{x-2}$ Nhận xét: $x-2 + \frac{6}{x-2} =x-2-2.\sqrt{6}+\frac{6}{x-2}+2.\sqrt{6}=x-2-2.(x-2).\frac{\sqrt{6}}{x-2}+\frac{\sqrt{6}^2}{x-2} = [(x-2)-\frac{\sqrt{6}}{x-2}]^2+2.\sqrt{6} \geq 2.\sqrt{6} $Nên, $T=x-2 +\frac{6}{x-2}+5 \geq 2.\sqrt{6}+5$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x-2)^2=6$ hay $x=\sqrt{6}+2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
$P=\frac{a^2+3}{a-1}$$=\frac{a^2+9-6}{a-1}$$\geq \frac{6a-6}{a-1}$$=6$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=2$Vậy, Min P=6 $\Leftrightarrow$ $a=2$
$P=\frac{a^2+3}{a-1}$$=\frac{a^2+9-6}{a-1}$$\geq \frac{6a-6}{a-1}$$=6$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=3$Vậy, Min P=6 $\Leftrightarrow$ $a=3$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Giá sử trong 3 số $a,b,c$ số $a$ là số bé nhất.Theo bài ra, $a \geq 0$Nên, ta có:$\begin{cases}ab+bc+ca\geq bc \\ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2} \end{cases}$Nên, $A=(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$\geq bc.(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2})$$=\frac{c}{b}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{b}{c}$$=\frac{b^2+c^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}$$=\frac{b^2+c^2-2bc}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{2bc}{bc}$$=\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+2$Mà theo bất đẳng thức Cô-si: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b$Nên, $\frac{(b-c)^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}\geq2.\sqrt{\frac{(b-c)^2}{bc}.\frac{bc}{(b-c)^2}}=2$Nên, $A\geq 2 + 2= 4 $Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}a=0 \\\frac{(b-c)^2}{bc}=\frac{bc}{(b-c)^2} \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^4 =b^2c^2\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^2=bc \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ b^2+c^2=3bc \end{cases}$Vậy, bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số bằng không và 2 số còn lại có tổng bình phương bằng tích hai số đó
Giá sử trong 3 số $a,b,c$ số $a$ là số bé nhất.Theo bài ra, $a \geq 0$Nên, ta có:$\begin{cases}ab+bc+ca\geq bc \\ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2} \end{cases}$Nên, $A=(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$\geq bc.(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2})$$=\frac{c}{b}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{b}{c}$$=\frac{b^2+c^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}$$=\frac{b^2+c^2-2bc}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{2bc}{bc}$$=\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+2$Mà theo bất đẳng thức Cô-si: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b$Nên, $\frac{(b-c)^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}\geq2.\sqrt{\frac{(b-c)^2}{bc}.\frac{bc}{(b-c)^2}}=2$Nên, $A\geq 2 + 2= 4 $Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}a=0 \\\frac{(b-c)^2}{bc}=\frac{bc}{(b-c)^2} \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^4 =b^2c^2\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^2=bc \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ b^2+c^2=3bc \end{cases}$Vậy, bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số bằng không và 2 số còn lại có bình phương hiệu bằng tích hai số đó
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm Max:$ \frac{bc}{\sqrt{ 2a+bc}} + \frac{ca}{\sqrt{ 2b+ca}} + \frac{ab}{\sqrt (2c+ab )} $
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm Max:$ \frac{bc}{\sqrt{ 3a+bc}} + \frac{ca}{\sqrt{ 3b+ca}} + \frac{ab}{\sqrt {3c+ab }} $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
$K=x(x-2)-y$Xét: Vì $2x+y\leq4$ nên $2x\leq4$(Vì $y\geq0)Hay $x\leq2$Nên, $0\leq x\leq2$Nên, $x-2\leq0$Mà $x\geq0$Nên $x(x-2)\leq0$Vậy, $K=x(x-2)-y\leq0-0=0$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ và $y=0$ hay $x=2$ và $y=0$
$K=x(x-2)-y$Xét: Vì $2x+y\leq4$ nên $2x\leq4$(Vì $y\geq0$)Hay $x\leq2$Nên, $0\leq x\leq2$Nên, $x-2\leq0$Mà $x\geq0$Nên $x(x-2)\leq0$Vậy, $K=x(x-2)-y\leq0-0=0$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ và $y=0$ hay $x=2$ và $y=0$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $a,b,c$ là các số thực dương đôi một khác nhau. Chứng minh:$(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}) &g t;4$
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh:$(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}) \g eq 4$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình lớp 9
|
|
|
|
Hệ phương trình lớp 9 Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} xy^2+y^2-2=x^2+3x (1)\\ x+y-\sqrt{y-1}=0 (2)\end{array} \right.$
Hệ phương trình lớp 9 Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} xy^2+y^2-2=x^2+3x (1)\\ x+y-\sqrt{y-1}=0 (2)\end{array} \right.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hệ phương trình lớp 9
|
|
|
|
Giải phương trình (1):$y^2(x+1)-2-3x-x^2=0$$\Leftrightarrow$ $y^2(x+1)-(x+1)(x+2)=0$$\Leftrightarrow$ $ (x+1)(y^2-x-2)=0$Nên, có 2 trường hợp: $x+1=0$ hoặc $y^2=x+2$Th1: $x+1=0$Giải phương trình (2): $y-1 - 4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{y-1}[\sqrt{y-1} -4]=0$Xét $\sqrt{y-1}=0$Nên, $y-1=0$$\Leftrightarrow$ $y=0$Xét $\sqrt{y-1}=4$Nên, $y-1=16$$\Leftrightarrow$ $y=17$Th2: $y^2=x+2$Giải phương trình (2): $y^2-2+y-4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $(y-1)(y+2) - 4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{y-1}[(y+2)\sqrt{y-1}-4]=0$Xét: $\sqrt{y-1}=0$ $\Leftrightarrow y=1$Xét: $\sqrt{y-1}(y+2)=4$Đặt $\sqrt{y-1}=a$, ta có:$y+2=a^2+3$Nên, ta có: $a(a^2+3)=4$$\Leftrightarrow a^3 + 3a -4 = 0 $$\Leftrightarrow (a-1)(a^2-a+4)=0$Xét $\triangle x$ của phương trình $a^2-a+4 =1^2-4.4=-15 $Nên phương trình này vô nghiệmNên, $a = \sqrt{y-1} =-1$ $\Rightarrow y-1 =1 $$\Leftrightarrow y=2$ và $x=0$Vậy $(x;y)=(-1;0) ; (-1;17); (0;2)$
Giải phương trình (1):$y^2(x+1)-2-3x-x^2=0$$\Leftrightarrow$ $y^2(x+1)-(x+1)(x+2)=0$$\Leftrightarrow$ $ (x+1)(y^2-x-2)=0$Nên, có 2 trường hợp: $x+1=0$ hoặc $y^2=x+2$Th1: $x+1=0$Giải phương trình (2): $y-1 - 4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{y-1}[\sqrt{y-1} -4]=0$Xét $\sqrt{y-1}=0$Nên, $y-1=0$$\Leftrightarrow$ $y=0$Xét $\sqrt{y-1}=4$Nên, $y-1=16$$\Leftrightarrow$ $y=17$Th2: $y^2=x+2$Giải phương trình (2): $y^2-2+y-4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $(y-1)(y+2) - 4\sqrt{y-1}=0$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{y-1}[(y+2)\sqrt{y-1}-4]=0$Xét: $\sqrt{y-1}=0$ $\Leftrightarrow y=1$Xét: $\sqrt{y-1}(y+2)=4$Đặt $\sqrt{y-1}=a$, ta có:$y+2=a^2+3$Nên, ta có: $a(a^2+3)=4$$\Leftrightarrow a^3 + 3a -4 = 0 $$\Leftrightarrow (a-1)(a^2-a+4)=0$Xét $\triangle x$ của phương trình $a^2-a+4 =1^2-4.4=-15 $Nên phương trình này vô nghiệmNên, $a = \sqrt{y-1} =-1$ $\Rightarrow y-1 =1 $$\Leftrightarrow y=2$ và $x=2$Vậy $(x;y)=(-1;0) ; (-1;17); (2;2)$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Bất đẳng thức lớp 9 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $ \frac{y^2.z^2}{x(y^2+z^2)} + \frac{z^2.x^2}{y(z^2+x^2)} + \frac{x^2.y^2}{z(x^2+y^2)}$
Bất đẳng thức lớp 9 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} =3$Tìm min $ \frac{y^2.z^2}{x(y^2+z^2)} + \frac{z^2.x^2}{y(z^2+x^2)} + \frac{x^2.y^2}{z(x^2+y^2)}$
|
|