Giá sử trong 3 số a,b,c số a là số bé nhất.Theo bài ra, a≥0
Nên, ta có:
{ab+bc+ca≥bc1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−a)2≥1b2+1(b−c)2+1c2
Nên, A=(ab+bc+ca)(1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−a)2)
≥bc.(1b2+1(b−c)2+1c2)
=cb+bc(b−c)2+bc
=b2+c2bc+bc(b−c)2
=b2+c2−2bcbc+bc(b−c)2+2bcbc
=(b−c)2bc+bc(b−c)2+2
Mà theo bất đẳng thức Cô-si: a+b≥2√ab
Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b
Nên, (b−c)2bc+bc(b−c)2≥2.√(b−c)2bc.bc(b−c)2=2
Nên, A≥2+2=4
Dấu bằng xảy ra ⇔ {a=0(b−c)2bc=bc(b−c)2
⇔{a=0(b−c)4=b2c2
⇔{a=0(b−c)2=bc
⇔{a=0b2+c2=3bc
Vậy, bất đẳng thức xảy ra ⇔ một trong 3 số bằng không và 2 số còn lại có bình phương hiệu bằng tích hai số đó