Nhận xét: $P=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} + \frac{3}{x-2} = 1+ \frac{3}{x-2}$Nên, $T=P.x=x+\frac{3x}{x-2}=x+\frac{3x-6+6}{x-2}=x+\frac{3.(x-2)}{x-2}+\frac{6}{x-2}=x+3+\frac{6}{x-2}$Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm: $a +\frac{k}{a} \geq 2.\sqrt{k}$Nên, $T = x-2+\frac{6}{x-2} +5 \geq 2.\sqrt{6}+5$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x-2)^2=6$ hay $x=\sqrt{6}+2$

Nhận xét: $P=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=\frac{x-2}{x-2} + \frac{3}{x-2} = 1+ \frac{3}{x-2}$Nên, $T=P.x=x+\frac{3x}{x-2}=x+\frac{3x-6+6}{x-2}=x+\frac{3.(x-2)}{x-2}+\frac{6}{x-2}=x+3+\frac{6}{x-2}$ Nhận xét: $x-2 + \frac{6}{x-2} =x-2-2.\sqrt{6}+\frac{6}{x-2}+2.\sqrt{6}=x-2-2.(x-2).\frac{\sqrt{6}}{x-2}+\frac{\sqrt{6}^2}{x-2} = [(x-2)-\frac{\sqrt{6}}{x-2}]^2+2.\sqrt{6} \geq 2.\sqrt{6} $Nên, $T=x-2 +\frac{6}{x-2}+5 \geq 2.\sqrt{6}+5$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x-2)^2=6$ hay $x=\sqrt{6}+2$

$P=\frac{a^2+3}{a-1}$$=\frac{a^2+9-6}{a-1}$$\geq \frac{6a-6}{a-1}$$=6$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=2$Vậy, Min P=6 $\Leftrightarrow$ $a=2$

$P=\frac{a^2+3}{a-1}$$=\frac{a^2+9-6}{a-1}$$\geq \frac{6a-6}{a-1}$$=6$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=3$Vậy, Min P=6 $\Leftrightarrow$ $a=3$

Giá sử trong 3 số $a,b,c$ số $a$ là số bé nhất.Theo bài ra, $a \geq 0$Nên, ta có:$\begin{cases}ab+bc+ca\geq bc \\ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2} \end{cases}$Nên, $A=(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$\geq bc.(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2})$$=\frac{c}{b}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{b}{c}$$=\frac{b^2+c^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}$$=\frac{b^2+c^2-2bc}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{2bc}{bc}$$=\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+2$Mà theo bất đẳng thức Cô-si: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b$Nên, $\frac{(b-c)^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}\geq2.\sqrt{\frac{(b-c)^2}{bc}.\frac{bc}{(b-c)^2}}=2$Nên, $A\geq 2 + 2= 4 $Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}a=0 \\\frac{(b-c)^2}{bc}=\frac{bc}{(b-c)^2} \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^4 =b^2c^2\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^2=bc \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ b^2+c^2=3bc \end{cases}$Vậy, bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số bằng không và 2 số còn lại có tổng bình phương bằng tích hai số đó

Giá sử trong 3 số $a,b,c$ số $a$ là số bé nhất.Theo bài ra, $a \geq 0$Nên, ta có:$\begin{cases}ab+bc+ca\geq bc \\ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2} \end{cases}$Nên, $A=(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$\geq bc.(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{c^2})$$=\frac{c}{b}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{b}{c}$$=\frac{b^2+c^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}$$=\frac{b^2+c^2-2bc}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{2bc}{bc}$$=\frac{(b-c)^2}{bc}+\frac{bc}{(b-c)^2}+2$Mà theo bất đẳng thức Cô-si: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b$Nên, $\frac{(b-c)^2}{bc} + \frac{bc}{(b-c)^2}\geq2.\sqrt{\frac{(b-c)^2}{bc}.\frac{bc}{(b-c)^2}}=2$Nên, $A\geq 2 + 2= 4 $Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}a=0 \\\frac{(b-c)^2}{bc}=\frac{bc}{(b-c)^2} \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^4 =b^2c^2\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ (b-c)^2=bc \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\ b^2+c^2=3bc \end{cases}$Vậy, bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số bằng không và 2 số còn lại có bình phương hiệu bằng tích hai số đó