|
|
giải đáp
|
MN ƠI GIÚP MK VỚI
|
|
|
|
Có $\frac 11=\frac 11$ $\frac 12=\frac 12$ $\frac 13+\frac 14>\frac 12$ $\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18>\frac 12$ ... $\frac 1{2^{n-1}+1}+...+\frac 1{2^n}>\frac 12$ Cộng vế theo vế $S_n>1+\frac n2 \forall n\in \mathbb{N}^*$ Mà $\lim \left(1+\frac n2\right)=+\infty$ Suy ra $\lim S_n=+\infty$ $\Rightarrow $ dpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
tìm Min
|
|
|
|
$P=\sum_{cyc}\sqrt{(b+\frac 12)^2+c^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} \ge \sqrt{\left(a+\frac 12+b+\frac 12+c+\frac 12\right)^2+(a+b+c)^2+\left( \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}$ $=6$ $\min=6\Leftrightarrow a=b=c=1$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giup minh nha minh cam on
|
|
|
|
Ta có $A=n^4+3n^3+9n^2+13n+6=(n+1)^2(n^2+n+6)$ Do $n\in \mathbb N^*$ nên A chính phương $\Leftrightarrow n^2+n+6$ chính phương Đặt $n^2+n+6=m^2\Leftrightarrow 4n^2+4n+24=4m^2\Leftrightarrow 4m^2-(2n+1)^2=23$ $\Leftrightarrow (2m-2n-1)(2m+2n+1)=23$ Đây là phương trình nghiệm nguyên cơ bản, bạn tự giải tiếp nhé |
|
|
|
giải đáp
|
tính
|
|
|
|
$S=1+5+5^2+...+5^n$ là tổng của 1 CSN công bội $5$, nên có tổng là $S=\frac{1(1-5^{n+1})}{1-5}=\frac{5^{n+1}-1}{4}$ Tương tự $P=1+4+4^2+...+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}$ $\Rightarrow \lim VT=\lim \frac{4^n.\frac{5^{n+1}-1}4}{5^n.\frac{4^{n+1}-1}3}=\lim \frac 34.\frac{4^n5^{n+1}-4^n}{4^{n+1}5^n-5^n}=\lim \frac 34.\left( \frac{5-\frac 1{5^n}}{4-\frac 1{4^n}}\right)$ $= \frac 34.\frac{5-\lim \frac 1{5^n}}{4-\lim \frac 1{4^n}} =\frac {15}{16}$
|
|
|
|
giải đáp
|
tính giới hạn biết
|
|
|
|
$u_n=\frac{1}{1.3}+\frac 1{2.4}+\frac 1{3.5}+...+\frac 1{(n-1)(n+1)}$ $\Leftrightarrow2u_n=\frac{3-1}{1.3}+\frac{4-2}{4.2}+...+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n+1)(n-1)}$ $\Leftrightarrow \frac 11-\frac 13+\frac 12-\frac 14+\frac 13-\frac 15+...+\frac 1{n-1}-\frac 1{n+1}$ $=1+\frac 12-\frac 1{n+1}$ $\Leftrightarrow u_n=\frac 32-\frac 1{2(n+1})$ $\Rightarrow \lim u_n=\frac 32$ |
|
|
|
giải đáp
|
CMR với mọi a,b,c > 0
|
|
|
|
Ta chỉ ra $(a^3+1)(b^3+1)^2 \ge (1+ab^2)^3$, tương tự nhân lại suy ra dpcm
Để chứng minh điều trên có nhiều cách, khai triển ra là cách nhanh nhất: $\Leftrightarrow (a^3+1)(b^6+2b^3+1) \ge a^3b^6+3ab^2(1+ab^2)+1$ $a^3b^6+2a^3b^3+a^3+b^6+2b^3+1 \ge a^3b^6+3ab^2+3a^2b^4+1$ $\Leftrightarrow 2a^3b^3+a^3+b^6+2b^3 \ge 3ab^2+3a^2b^4$ $\Leftrightarrow (a^3+b^3+b^3)+(a^3b^3+a^3b^3+b^6) \ge 3ab^2+3a^2b^4$ (đúng theo bđt Cô-sy) |
|
|
|
giải đáp
|
Toán
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT nè mn !
|
|
|
|
Với $x,y,z \ge 1$ ta có các bdt sau $\frac 1{1+x^2}+\frac 1{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}, \\ \frac1{1+x^3}+\frac 1{1+y^3}+\frac 1{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$ (đây là các kết quả có sẵn và rất quen thuộc, bạn đọc tự chứng minh )
Áp dụng liên tiếp ta có $\left(\frac{1}{1+a^6}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+b^3} \right)+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{3}{1+a^2b^2}+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{6}{1+abc}$ Đặt $t=abc \ge 1$ Thế thì $\frac{P}6 \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{t^2-t+1} \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt t \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{\frac{t+1}{8}}+\sqrt{\frac{t+1}{8}} \ge \frac 32$
Dễ dàng kiểm tra $P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=1$
P/s:Theo lối mòn tư duy thì từ bước đặt ẩn trở đi có thể giải bằng phương pháp hàm số :) |
|
|
|
giải đáp
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
Để ý $(x+1)(y+1)=4xy\Rightarrow xy \ge1$ Nên ta có $\frac{3y}{x(y+1)}+\frac{3x}{y(x+1)}=\frac{3y^2(x+1)+3x^2(y+1)}{xy(x+1)(y+1)}=\frac{3xy(x+y)+3(x^2+y^2)}{4x^2y^2}$ $=\frac 34\left(\frac 1x+\frac 1y \right)+\frac 34\left(\frac 1{x^2}+\frac 1{y^2} \right)$
Lại có $\frac 1{x+y} \le \frac 14 \left( \frac 1x +\frac 1y \right)$ Từ đó suy ra $P \le \frac 1x+\frac 1y-\frac 14 \left(\frac 1{x^2}+\frac 1{y^2}\right)=\frac 1x+\frac 1y-\frac 14\left(\frac 1x+\frac 1y \right)^2+\frac 1{2xy}$
Mặt khác theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì $\frac 14 \left( \frac 1x+\frac 1y \right)^2 +1 \ge \frac 1x+\frac 1y$ Suy ra $P \le1+\frac 1{2xy} \le \frac 32$ $P_{\min}=\frac 32 \Leftrightarrow x=y=1$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giải cho một bạn trên facebook
|
|
|
|
Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$ Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$ Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$ Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$ Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$ Suy ra $\sum_{k=3}^na_k^2 \le \sum_{k=3}^na_k$ Suy ra $\sum_{k=1}^na_k^2+4 \le \sum_{k=1}^na_k+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$ Suy ra dpcm Nếu $a_2 \le 1$ thì tương tự ta cũng có $\sum_{k=2}^na_k^2 \le \sum_{k=2}^ka_k $ Mà $a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$ Kết hợp 2 điều trên ta có $\sum_{k=1}^na_k^2 \le \sum_{k=1}^na_k+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm) Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.
|
|
|
|
giải đáp
|
tiep
|
|
|
|
$\sum_{cyc} \frac{ab}{c+12}=\sum_{cyc}\frac{ab}{(a+c)+(b+c)} \le \frac14 \sum_{sym}\frac{ab}{a+c}=\frac{1}{4}.12=3$
|
|
|
|
giải đáp
|
giup minh bai nay voi
|
|
|
|
bpt $\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{2.x!}{x!}-\frac{x!}{(x-2)!}\leq \frac{6}{x}.\frac{x!}{3!.(x-3)!}+10$ $\Leftrightarrow 1-\frac{(x-2)!.(x-1).x}{(x-2)!}\leq \frac{(x-3)!.(x-2).(x-1).x}{x.(x-3)!}+10$ $\Leftrightarrow 1-x.(x-1)\leq (x-2).(x-1)+10$ $\Leftrightarrow 1-x^{2}+x\leq x^{2}-3x+2+10$ $\Leftrightarrow 2x^{2}-4x+11\geq 0$ ( luôn đúng ) ............
|
|
|
|
giải đáp
|
(3)
|
|
|
|
1 hit thôi :)) $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2$ $= \frac 12(c^2+2) \left[ (a-b)^2+2(ab-1)^2\right]+\frac 32(ac+bc-2)^2 \ge0$ $\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2 \ge 9(ab+bc+ca)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Ai còn nhớ bài này?
|
|
|
|
Viết lại bdt đã cho như sau $(a^2+b^2+c^2)^6 \ge 81(abc)^2(a^3+b^3+c^3)^2$ Ta có $VP \le 27.\Big[3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2) \Big](a^4+b^4+c^4) \le 27(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2(a^4+b^4+c^4)$ $\le 27. \left[ \frac{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^4+b^4+c^4}{3} \right]^3=(a^2+b^2+c^2)^6$ Suy ra dpcm đúng, dấu = xảy ra khi a=b=c=1 |
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x(x+6y-4)+3y(3y-4)+8}+2(x+y)=\sqrt{(x+y)^2+4(1-xy)}+2\\ \sqrt{3x-xy+22}-\sqrt{1-y}=x^2-2y+3 \end{array} \right.$
|
|
|
|
DKXD : $y \le 1 ,3x+22 \ge xy$ $(1)\Leftrightarrow \sqrt{x^2+9y^2+6xy-4x-12y+8}-\sqrt{(x-y)^2+4}+2(x+y-1)=0$ $\Leftrightarrow \frac{4(2y-1)(x+y-1)}{\sqrt{(x+3y-2)^2+4}+\sqrt{(y-x)^2+4}}+2(x+y-1)=0$ $\Leftrightarrow (x+ý-1).f(x)=0 $ Với $y \ge \frac 12$ thì $f(x)>0$ Với $y < \frac 12$ thì $f(x) \overset{min-cop-xki}\ge \frac{4(2y-1)}{\sqrt{(4y-2)^2+16}}+2=\frac{2y-1}{\sqrt{(2y-1)^2+4}}+2>0$ Vậy $(1)\Leftrightarrow y=1-x$ Thế xuống pt thứ 2 $\sqrt{3x-x(1-x)+22}-\sqrt x=x^2-2+2x+3$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt x=(x+1)^2$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x+22}-5+1-\sqrt x=(x+1)^2-4$ $\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{x^2+2x+22}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt x+1 }$ $\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases}$
|
|