Dễ thấy nếu nhóm $(1)$ chứa $(1,2,5)$, nhóm $(2)$ chứa $(3,4)$ thì đề bài sai.
Giả sử tồn tại trường hợp mà không có số nào thỏa mãn với yêu cầu đề bài.Ta có:-Số $5$ chắc chắn không là hiệu của $2$ số nào cả. $(1)$-Số $4$ không thể ở nhóm có $1$ và $5$ cùng tồn tại. $(2)$-Số $3$ không thể ở nhóm có $1$ và $4$, $2$ và $5$ cùng tồn tại. $(3)$-Số $2$ không thể ở nhóm có số $4$, $1$ và $3$, $3$ và $5$ cùng tồn tại. $(4)$-Số $1$ không thể ở nhóm có số $2$, $3$ và $4$, $4$ và $5$ cùng tồn tại. $(5)$Không làm mất tính tổng quát, ta gọi $2$ nhóm là $I$ và $II$ với $5$ được xếp vào nhóm $I$ (vì $(1)$)-Nếu thêm $1$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $3$ vào nhóm $I$ . (vì $(2)$ và $(5)$) $\Rightarrow $ Nhóm $II$ buộc phải có $2,4$ (loại vì $(4)$) -Nếu thêm $2$ vào nhóm $I\Rightarrow $Không thêm được số nào vào nhóm $I$. (vì $(3),(4)$ và $(5)$)$\Rightarrow $ Nhóm $II$ có $1,3,4$ (loại vì $(3)$).-Nếu thêm $3$ vào nhóm $I\Rightarrow $Chỉ có thể thêm tiếp $1$ hoặc $4$ vào nhóm $I$. (vì $(3)$) +Nếu thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$) +Nếu không thêm $4\Rightarrow $ nhóm $II$ buộc phải có $2,4$ (loại vì $(4)$) -Nếu thêm $4$ vào nhóm $I\Rightarrow $ Chỉ có thể thêm tiếp $3$ (vì $(4)$ và $(2)$)$\Rightarrow $ Nhóm $II$ buộc phải có $1,2$ (loại vì $(5)$).-Nếu không thêm số nào $\Rightarrow $ Nhóm $II$ có $1,2,3,4$ (loại vì $(5)$)Vậy không có trường hợp nào thỏa mãn $\Rightarrow $ Giả sử sai $\Rightarrow $ Ta có ĐPCM.