Tìm tổng các số tự nhiên có được bằng cách hoán vị $6$ chữ số $1,2,3,4,5,6$?

Giải các hệ :
$\begin{array}{l}
1)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
2{\log _{1 - x}}\left( { - xy + y - 2x + 2} \right) + {\log _{2 + y}}{\left( {x - 1} \right)^2} = 6\\
{\log _{1 - x}}\left( {y + 5} \right) - {\log _{2 + y}}\left( {x + 4} \right) = 1
\end{array} \right.\\
2)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{\log _{1 + x}}{\left( {y - 1} \right)^2} + {\log _{1 - y}}{\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\
{\log _{1 + x}}\left( {2y + 1} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {2x + 1} \right) = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Ta có:  $ f'(x) = {x^2} - (\sin a + c{\rm{os}}a)x + \frac{{3\sin 2a}}{4} $
Hàm số có CĐ, CT  $  \Leftrightarrow f'(x) = 0 $  có 2 nghiệm phân biệt  $  \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow  (sina+cosa)^2-3  sin2a>0\Leftrightarrow 1>2sin  2a\geq -2$
Với điều kiện trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt  $ {x_1},{x_2} $ , và hàm đạt cực trị tại  $ {x_1},{x_2} $ .
Theo viet ta có:   $ {x_1} + {x_2} = \sin a + \cos a  ;  {x_1}.{x_2} = \frac{{3{\rm{sin}}2a}}{4} $
Điều kiện  $ {x_1} + {x_2} = x_1^2 + x_2^2 $   $  \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} $
 $  \Leftrightarrow \sin a + \cos a = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} - \frac{{{\rm{3sin}}2a}}{2}(2) $
Đặt  $ t = \sin a + \cos a = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) $  $  \Rightarrow \sin 2a = {t^2} - 1 $ , do đk nên  $ {t^2} - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| t \right| \le \sqrt {\frac{3}{2}}  $
Khi đó (2) trở thành:  $ t = {t^2} - \frac{3}{2}({t^2} - 1) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - 3
\end{array} \right. $
So sánh điều kiện suy ra chỉ có t = 1 thỏa mãn, nên
                                        $ c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = k2\pi \\
a = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\,\,(k \in Z) $

Hàm số có CĐ, CT  $  \Leftrightarrow f'(x) = 4{x^2} - 4(1 - \sin a)x + (1 + c{\rm{os}}2a) = 0 $  có 2 nghiệm phân biệt  
$  \Leftrightarrow \Delta ' = 4{(1 - \sin a)^2} - 4(1 + c{\rm{os}}2a) > 0 $
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 > 0\\
\Leftrightarrow -1\leq \sin a <  - \frac{1}{3}(*)
\end{array} $
Với đk (*) thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt  $ {x_1},{x_2} $ , và hàm đạt cực trị tại  $ {x_1},{x_2} $ .
Theo định lí  Viet ta có:   $ {x_1} + {x_2} = 1 - \sin a   ;   {x_1}.{x_2} = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{4} $
Giả thiết:  $ x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 1 $
 $ \begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {(1 - \sin a)^2} - \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2} = 1\\
 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin a = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\
\sin a = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} $
So sánh với (*) ta suy ra  $ \sin a = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \arcsin \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi \\
a = \pi  - \arcsin \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.,k \in Z $