|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 27/03/2016
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
giúp tôi với
|
|
|
|
Giả sử $\Delta ABC$ cân tại $A$. i/ Vẽ tia $AO$ cắt $BC$ và $(O;R)$ tại $D$ và $E$. Khi đó $D$ là trung điểm của $BC$, $AD$ vuông góc với $BC$ và $\widehat{ABE} = 90^0$. Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra $AD=\frac{AB^2}{AE} = \frac{b^2}{2R}$. Từ định lí Pythagoras suy ra $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\frac{b\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}$.Từ đó có$cosB=cosC=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}$; $cosA=cos(180^0-2B)=-cos2B=1-2cos^2B=1-2.\frac{4R^2-b^2}{4R^2}=\frac{b^2-2R^2}{2R^2}$. ii/ Với các kết quả $AD=\frac{b^2}{2R}$,$BC=2BD=\frac{b\sqrt{4R^2-b^2}}{R}$ thì có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{b^3\sqrt{4R^2-b^2}}{4R^2}=\frac{\sqrt{b^6(4R^2-b^2)}}{4R^2}$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì được $b^6(4R^2-b^2)=27.\frac{b^2}{3}. \frac{b^2}{3}. \frac{b^2}{3}. (4R^2-b^2)\leq \frac{(\frac{b^2}{3}+\frac{b^2}{3}+\frac{b^2}{3}+4R^2-b^2)^4}{256}=27R^8$. Do đó $S_{\Delta ABC}\leq \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{b^2}{3}=4R^2-b^2$, hay $b=R\sqrt{3}$ (khi đó $ABC$ là tam giác đều).
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải phương trình :
|
|
|
|
i/ Trường hợp $n$ chắn.Điều kiện của phương trình $-1\leq x\leq1$. Khi đó có $2\sqrt{(1+x)^2}+3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{(1+x)^2}>0$. Suy ra phương trình cần giải vô nghiệm.ii/ Trường hợp $n$ lẻ.Kiểm tra dễ dàng $x=1$ không phải các nghiệm của phương trình.Xét $x\neq1$. Giả sử $\sqrt[n]{1+x}=t\sqrt[n]{1-x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành$\sqrt[n]{(1-x)^2}(2t^2+3t+1)=0\Rightarrow 2t^2+3t+1=0\Rightarrow t=-1\vee t=-\frac{1}{2}$.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-1+x$; phương trình này vô nghiệm.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-\frac{1}{2^n}(1-x)$, suy ra $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.
i/ Trường hợp $n$ chắn.Điều kiện của phương trình $-1\leq x\leq1$. Khi đó có $2\sqrt{(1+x)^2}+3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{(1-x)^2}>0$. Suy ra phương trình cần giải vô nghiệm.ii/ Trường hợp $n$ lẻ.Kiểm tra dễ dàng $x=1$ không phải các nghiệm của phương trình.Xét $x\neq1$. Giả sử $\sqrt[n]{1+x}=t\sqrt[n]{1-x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành$\sqrt[n]{(1-x)^2}(2t^2+3t+1)=0\Rightarrow 2t^2+3t+1=0\Rightarrow t=-1\vee t=-\frac{1}{2}$.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-1+x$; phương trình này vô nghiệm.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-\frac{1}{2^n}(1-x)$, suy ra $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình : $2\sqrt[n]{(1+x)^{2}}+3\sqrt[n]{1-x^{2}}+\sqrt[n]{(1-x)^{2}}=0$
|
|
|
|
i/ Trường hợp $n$ chẵn.
Điều kiện của phương trình $-1\leq x\leq1$. Khi đó có $2\sqrt{(1+x)^2}+3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{(1-x)^2}>0$. Suy ra phương trình cần giải vô nghiệm. ii/ Trường hợp $n$ lẻ. Kiểm tra dễ dàng $x=1$ không phải các nghiệm của phương trình. Xét $x\neq1$. Giả sử $\sqrt[n]{1+x}=t\sqrt[n]{1-x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành $\sqrt[n]{(1-x)^2}(2t^2+3t+1)=0\Rightarrow 2t^2+3t+1=0\Rightarrow t=-1\vee t=-\frac{1}{2}$. Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-1+x$; phương trình này vô nghiệm. Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-\frac{1}{2^n}(1-x)$, suy ra $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 26/03/2016
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT cơ sở
|
|
|
|
Giả sử $a\geq b>0$. Suy ra $a^2\geq b^2$ và $a^3\geq b^3$. Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra $a^2.a^3+b^2.b^3\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)(a^3+b^3)$, hay $a^5+b^5\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)(a^3+b^3)$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$.
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 25/03/2016
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
Vote và Giải nhiều hộ nha
Tổng của hai tỉ số, tỉ số thứ nhất là âm vì có tử dương và mẫu âm; tỉ số thứ hai cũng âm vì có tử âm và mẫu dương. Đọc cho sau hàng "Trường hợp x <= -8 ấy.
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
giải phương trình
|
|
|
|
Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.
Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]=0$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc vuông là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.
|
|
|
|
sửa đổi
|
giải phương trình
|
|
|
|
Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq 1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.
Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.
|
|
|
|
giải đáp
|
giải phương trình
|
|
|
|
Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$. Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau. Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình. Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có $(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]=0$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc vuông là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$. Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Vote và Giải nhiều hộ nha
|
|
|
|
Điều kiện phương trình $x\geq1\vee x\leq -8$. Kí hiệu $(*)$ là phương trình cần giải. Khi đó có $(*)\Leftrightarrow 6\sqrt{x^2-1}(x-\sqrt{x^2-1})+(x+2-\sqrt{x^2+8})=0$ $\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}+\frac{4(x-1)}{x+2+\sqrt{x^2+8}}=0$ $(**)$. Trường hợp $x\geq1$. Khi đó có $(**)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\frac{6\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}+\frac{4\sqrt{x-1}}{x+2+\sqrt{x^2+8}})=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=0$ (vì biểu thức trong ngoặc luôn dương) $\Leftrightarrow x=1$. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét. Trường hợp $x\leq -8$. Khi đó có $\sqrt{x^2-1}>0$, $x+\sqrt{x^2-1}<0$, $x-1<0$, $x+2+\sqrt{x^2+8}>0$. Từ đó suy ra $\frac{6\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}+\frac{4(x-1)}{x+2+\sqrt{x^2+8}}<0$. Suy ra $(**)$ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất, đó là $x=1$.
|
|