Nếu $k=1$ thì bất đẳng thức đương nhiên đúng.Giả sử $k>2$. Không mất tính tổng quát khi coi $a_{1}\geq a_{2}\geq...\geq a_{n}$. Khi đó kiểm tra dễ dàng và có $a^{k-1}_{1}\geq a^{k-1}_{2}\geq...\geq a^{k-1}_{n}$.Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra $a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k-1}_{n}\geq \frac{1}{n}(a_{1}+ a_{2}+...+a_{n})(a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n})$;hay $a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k-1}_{n}\geq a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n}$.Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}= a_{2}=...=a_{n}=1$.

Nếu $k=1$ thì bất đẳng thức đương nhiên đúng.Giả sử $k>2$. Không mất tính tổng quát khi coi $a_{1}\geq a_{2}\geq...\geq a_{n}$. Khi đó kiểm tra dễ dàng và có $a^{k-1}_{1}\geq a^{k-1}_{2}\geq...\geq a^{k-1}_{n}$.Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra $a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k}_{n}\geq \frac{1}{n}(a_{1}+ a_{2}+...+a_{n})(a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n})$;hay $a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k-1}_{n}\geq a^{k-1}_{1}+a^{k-1}_{2}+...+a^{k-1}_{n}$.Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}= a_{2}=...=a_{n}=1$.

Điều kiện của phương trình là $-2\leq x\leq2$.Dễ thấy rằng $|x|(2-|x|)\geq 0$, cho nên $|x|\geq \frac{x^2}{2}$. Từ đó suy ra $(x-1)^2-|x|+1\leq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (1).Cũng dễ thấy rằng $2\geq \sqrt{4-x^2}$ và $2-\sqrt[3]{x^2-2x}\geq0$. Từ đó suy ra $\sqrt{4-x^2}(1-\frac{\sqrt{4-x^2}}{2})+\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}(2-\sqrt[3]{x^2-2x})\geq0$;hay $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (2).Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq (x-1)^2-|x|+1$ (3).Với kết quả (3), phương trình trình đã cho kéo theo $|x|(2-|x|)=0$, hay $x=0\vee x=\pm2$.Thay trực tiếp các giá trị $x=0,x=2,x=-2$ vào phương trình đã cho thì thấy phương trình được thỏa mãn.Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là $x=0,x=2,x=-2$.

Điều kiện của phương trình là $-2\leq x\leq2$.Dễ thấy rằng $|x|(2-|x|)\geq 0$, cho nên $|x|\geq \frac{x^2}{2}$. Từ đó suy ra $(x-1)^2-|x|+1\leq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (1).Cũng dễ thấy rằng $2\geq \sqrt{4-x^2}$ và $2\geq \sqrt[3]{x^2-2x}$. Từ đó suy ra $\sqrt{4-x^2}(1-\frac{\sqrt{4-x^2}}{2})+\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}(2-\sqrt[3]{x^2-2x})\geq0$;hay $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (2).Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq (x-1)^2-|x|+1$ (3).Với kết quả (3), phương trình trình đã cho kéo theo $|x|(2-|x|)=0$, hay $x=0\vee x=\pm2$.Thay trực tiếp các giá trị $x=0,x=2,x=-2$ vào phương trình đã cho thì thấy phương trình được thỏa mãn.Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là $x=0,x=2,x=-2$.

Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0<t\leq3$.Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 0$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Suy ra $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.

Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 4xy$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Cho nên $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.

Điều kiện của hệ là $x\geq2$, $y\geq-2$.Kí hiệu (1) và (2) lần lượt là phương trình đầu và cuối của hệ.Khi đó (1) tương đương với $4(x-1)\sqrt{y+2}-2x-4y-5=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-4y-7=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-[4(y+2)-1]=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-(2\sqrt{y+2}+1)(2\sqrt{y+2}-1)=0$;hay $(2\sqrt{y+2}-1)(2x-3-2\sqrt{y+2})=0$;hay $2\sqrt{y+2}-1=0\vee 2x-3-2\sqrt{y+2}=0$;i/ Trường hợp $2\sqrt{y+2}-1=0$.Khi đó có $4(y+2)=1$, hay $y=-\frac{7}{4}$. Từ đó (2) tương đương với $2(x-2)\sqrt{x-2}=0$, hay $x=2$.Suy ra $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$ là nghiệm của hệ trong trường hợp này.i/ Trường hợp $2x-3-2\sqrt{y+2}=0$.Khi đó có $\sqrt{y+2}=\frac{2x-3}{2}$; hay $y=x^2-3x+\frac{1}{4}$.Suy ra (2) tương đương với $2(x-2)\sqrt{x-2}+x^2-3x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$;hay $2(x-2)\sqrt{x-2}+x^2-3x+2=0$;hay $(x-2)(2\sqrt{x-2}+x-1)=0$;hay $x-2=0$ (vì $x\geq 2$ nên $2\sqrt{x-2}+x-1>0$);hay $x=2$; suy ra $y=-\frac{7}{4}$.Suy ra $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$ là nghiệm của hệ trong trường hợp này.Thành thử, hệ đã cho có nghiệm duy nhất, đó là $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$.

Điều kiện của hệ là $x\geq2$, $y\geq-2$.Kí hiệu (1) và (2) lần lượt là phương trình đầu và cuối của hệ.Khi đó (1) tương đương với $4(x-1)\sqrt{y+2}-2x-4y-5=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-4y-7=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-[4(y+2)-1]=0$;hay $2(x-1)(2\sqrt{y+2}-1)-(2\sqrt{y+2}+1)(2\sqrt{y+2}-1)=0$;hay $(2\sqrt{y+2}-1)(2x-3-2\sqrt{y+2})=0$;hay $2\sqrt{y+2}-1=0\vee 2x-3-2\sqrt{y+2}=0$;i/ Trường hợp $2\sqrt{y+2}-1=0$.Khi đó có $4(y+2)=1$, hay $y=-\frac{7}{4}$. Từ đó (2) tương đương với $2(x-2)\sqrt{x-2}=0$, hay $x=2$.Suy ra $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$ là nghiệm của hệ trong trường hợp này.ii/ Trường hợp $2x-3-2\sqrt{y+2}=0$.Khi đó có $\sqrt{y+2}=\frac{2x-3}{2}$; hay $y=x^2-3x+\frac{1}{4}$.Suy ra (2) tương đương với $2(x-2)\sqrt{x-2}+x^2-3x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$;hay $2(x-2)\sqrt{x-2}+x^2-3x+2=0$;hay $(x-2)(2\sqrt{x-2}+x-1)=0$;hay $x-2=0$ (vì $x\geq 2$ nên $2\sqrt{x-2}+x-1>0$);hay $x=2$; suy ra $y=-\frac{7}{4}$.Suy ra $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$ là nghiệm của hệ trong trường hợp này.Thành thử, hệ đã cho có nghiệm duy nhất, đó là $(x;y)=(2;-\frac{7}{4})$.

Phương trình đầu tương đương $x^4-[(27-y^2)+(y-6)]x^2+(27-y^2)(y-6)=0$, suy ra $x^2=27-y^2$ hoặc $x^2=y-6$.

http://i.imgur.com/ZGtLgm7.png

Điều kiện phương trình $-\frac{1}{4}\leq x \leq \frac{5}{2}$.Kí hiệu (1) là phương trình đã cho. Khi đó(1) $\Leftrightarrow(\sqrt{4x+1}-3)+(1-\sqrt{5-2x})+(2x^2-5x+2)=0$ $\Leftrightarrow \frac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2(x-2)}{1+\sqrt{5-2x}}+(x-2)(2x-1)=0$ $\Leftrightarrow (x-2)[\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1]=0$ (2)Trường hợp $0\leq x\leq \frac{5}{2}$. Khi đó$\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1 \geq \frac{4}{\sqrt{4.\frac{5}{2}+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2.0}}+2.0-1$ $\geq \frac{4}{\sqrt{11}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}-1>0$.Trường hợp $-\frac{1}{4}\leq x<0$. Khi đó$\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1 \geq \frac{4}{\sqrt{4.0+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2.(-\frac{1}{4}})}+2.(-\frac{1}{4})-1$ $\geq \frac{2}{1+\sqrt{5,5}}-\frac{1}{2}>0$.Suy ra: $\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1>0$ với mọi $x \in [-\frac{1}{4};\frac{5}{2}]$.Do đó: (2) $\Leftrightarrow x-2=0 \Leftrightarrow x= 2$. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện phương trình.

Điều kiện phương trình $-\frac{1}{4}\leq x \leq \frac{5}{2}$.Kí hiệu (1) là phương trình đã cho. Khi đó(1) $\Leftrightarrow(\sqrt{4x+1}-3)+(1-\sqrt{5-2x})+(2x^2-5x+2)=0$ $\Leftrightarrow \frac{4(x-2)}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2(x-2)}{1+\sqrt{5-2x}}+(x-2)(2x-1)=0$ $\Leftrightarrow (x-2)[\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1]=0$ (2)Trường hợp $0\leq x\leq \frac{5}{2}$. Khi đó$\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1 \geq \frac{4}{\sqrt{4.\frac{5}{2}+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2.0}}+2.0-1$ $\geq \frac{4}{\sqrt{11}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}-1>0$.Trường hợp $-\frac{1}{4}\leq x<0$. Khi đó$\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1&gt; \frac{4}{\sqrt{4.0+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2.(-\frac{1}{4}})}+2.(-\frac{1}{4})-1$ $&gt; \frac{2}{1+\sqrt{5,5}}-\frac{1}{2}>0$.Suy ra: $\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\frac{2}{1+\sqrt{5-2x}}+2x-1>0$ với mọi $x \in [-\frac{1}{4};\frac{5}{2}]$.Do đó: (2) $\Leftrightarrow x-2=0 \Leftrightarrow x= 2$. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện phương trình.

Từ điều kiện đề bài suy ra $x-y=3-z$ và $x^2+y^2=5-z^2$. Từ đó suy ra $(x+y)^2 = 2(x^2+y^2)-(x-y)^2=-3z^2+6z+1$ (1).Do đó $-3z^2+6z+1\geq0$, suy ra $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq z \leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ (2). Điều này chứng tỏ $z+2>0$ (3).Từ (1) và (3) suy ra $P\leq \frac{|x+y|-2}{z+2}=\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}$.Giả sử $\frac{1}{x+2}=t$, vì (2) nên $\frac{9-2\sqrt{3}}{23}\leq t \leq \frac{9+2\sqrt{3}}{23}$ (4). Khi đó có $z=\frac{1-2t}{t}$, đồng thời$\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$.Đến đây bạn có thể tìm giá trị lớn nhất của $f(t)=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$ với $t$ thỏa mãn điều kiện (4).

Từ điều kiện đề bài suy ra $x-y=3-z$ và $x^2+y^2=5-z^2$. Từ đó suy ra $(x+y)^2 = 2(x^2+y^2)-(x-y)^2=-3z^2+6z+1$ (1).Do đó $-3z^2+6z+1\geq0$, suy ra $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq z \leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ (2). Điều này chứng tỏ $z+2>0$ (3).Từ (1) và (3) suy ra $P\leq \frac{|x+y|-2}{z+2}=\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}$.Giả sử $\frac{1}{z+2}=t$, vì (2) nên $\frac{9-2\sqrt{3}}{23}\leq t \leq \frac{9+2\sqrt{3}}{23}$ (4). Khi đó có $z=\frac{1-2t}{t}$, đồng thời$\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$.Đến đây bạn có thể tìm giá trị lớn nhất của $f(t)=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$ với $t$ thỏa mãn điều kiện (4).

Điều kiện $x\neq0,x\geq -3,y>0$. Kí hiệu (1) và (2) là phương trình đầu và cuối của hệ. Khi đó có(1) $\Leftrightarrow (2x^2 + y)^2 = 3xy(x+\sqrt{y})$ $\Leftrightarrow 4x^4+x^2y-3xy\sqrt{y}+y^2=0$ $\Leftrightarrow 4(\frac{x}{\sqrt{y}})^4+(\frac{x}{\sqrt{y}})^2-3(\frac{x}{\sqrt{y}})-1=0$ $\Leftrightarrow (\frac{2x}{\sqrt{y}}-1)^2[(\frac{x}{\sqrt{y}})^2+\frac{x}{\sqrt{y}}+1]=0$ $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{1}{2}$.Suy ra $x>0$ và $y = 4x^2 $ (3).Từ kết quả (3) suy ra(2) $\Leftrightarrow 8x = \sqrt{2x+6}-4x^2$ $\Leftrightarrow 4x^2+8x = \sqrt{2x+6}$ $\Leftrightarrow (2x+2)^2-4=\sqrt{2x+6}$ $\Leftrightarrow [(2x+2)^2-(2x+6)]+[(2x+2)-\sqrt{2x+6}]=0$ $\Leftrightarrow [(2x+2)-\sqrt{2x+6}][2x+2+\sqrt{2x+6}+1]=0$$\Leftrightarrow (2x+2)-\sqrt{2x+6}=0$$\Leftrightarrow (2x+2)=\sqrt{2x+6}$$\Leftrightarrow 2x^2+3x-1=0$$\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\vee x=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.Vì $x>0$ nên chỉ lấy $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$, suy ra $y=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$. Các giá trị này thỏa mãn điều kiện hệ phương trình.

Điều kiện $x\neq0,x\geq -3,y>0$. Kí hiệu (1) và (2) là phương trình đầu và cuối của hệ. Khi đó có(1) $\Leftrightarrow (2x^2 + y)^2 = 3xy(x+\sqrt{y})$ $\Leftrightarrow 4x^4+x^2y-3xy\sqrt{y}+y^2=0$ $\Leftrightarrow 4(\frac{x}{\sqrt{y}})^4+(\frac{x}{\sqrt{y}})^2-3(\frac{x}{\sqrt{y}})-1=0$ $\Leftrightarrow (\frac{2x}{\sqrt{y}}-1)^2[(\frac{x}{\sqrt{y}})^2+\frac{x}{\sqrt{y}}+1]=0$ $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{1}{2}$.Suy ra $x>0$ và $y = 4x^2 $ (3).Từ kết quả (3) suy ra(2) $\Leftrightarrow 8x = \sqrt{2x+6}-4x^2$ $\Leftrightarrow 4x^2+8x = \sqrt{2x+6}$ $\Leftrightarrow (2x+2)^2-4=\sqrt{2x+6}$ $\Leftrightarrow [(2x+2)^2-(2x+6)]+[(2x+2)-\sqrt{2x+6}]=0$ $\Leftrightarrow [2x+2-\sqrt{2x+6}][2x+2+\sqrt{2x+6}+1]=0$ $\Leftrightarrow 2x+2-\sqrt{2x+6}=0$ (vì $x>0$ nên $2x+2+\sqrt{2x+6}+1>0$) $\Leftrightarrow 2x+2=\sqrt{2x+6}$ $\Leftrightarrow 2x^2+3x-1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\vee x=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.Vì $x>0$ nên chỉ lấy $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$, suy ra $y=\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$. Các giá trị này thỏa mãn điều kiện hệ phương trình.

i/ Trường hợp $n$ chắn.Điều kiện của phương trình $-1\leq x\leq1$. Khi đó có $2\sqrt{(1+x)^2}+3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{(1+x)^2}>0$. Suy ra phương trình cần giải vô nghiệm.ii/ Trường hợp $n$ lẻ.Kiểm tra dễ dàng $x=1$ không phải các nghiệm của phương trình.Xét $x\neq1$. Giả sử $\sqrt[n]{1+x}=t\sqrt[n]{1-x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành$\sqrt[n]{(1-x)^2}(2t^2+3t+1)=0\Rightarrow 2t^2+3t+1=0\Rightarrow t=-1\vee t=-\frac{1}{2}$.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-1+x$; phương trình này vô nghiệm.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-\frac{1}{2^n}(1-x)$, suy ra $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.

i/ Trường hợp $n$ chắn.Điều kiện của phương trình $-1\leq x\leq1$. Khi đó có $2\sqrt{(1+x)^2}+3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{(1-x)^2}>0$. Suy ra phương trình cần giải vô nghiệm.ii/ Trường hợp $n$ lẻ.Kiểm tra dễ dàng $x=1$ không phải các nghiệm của phương trình.Xét $x\neq1$. Giả sử $\sqrt[n]{1+x}=t\sqrt[n]{1-x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành$\sqrt[n]{(1-x)^2}(2t^2+3t+1)=0\Rightarrow 2t^2+3t+1=0\Rightarrow t=-1\vee t=-\frac{1}{2}$.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-1+x$; phương trình này vô nghiệm.Với $t=-1$ thì $\sqrt[n]{1+x}=-\frac{1}{2}\sqrt[n]{1-x}$, suy ra $1+x=-\frac{1}{2^n}(1-x)$, suy ra $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+2^n}{1-2^n}$.

Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.

Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]=0$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc vuông là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.

Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq 1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.

Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải. Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]$ $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$) $\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$ $\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc là dương). $\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.

Điều kiện phương trình $-3\leq x\leq2$. Kí hiệu $(*)$ là phương trình cần giải. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow 4(\frac{x-4+3\sqrt{2-x}}{3})-\frac{x+5-3\sqrt{3+x}}{3}-(x^2+x-2)=0$ $\Leftrightarrow \frac{4(x^2+x-2)}{3(x-4-3\sqrt{2-x})}-\frac{x^2+x-2}{3(x+5+3\sqrt{3+x})}-(x^2+x-2)=0$ $\Leftrightarrow (x^2+x-2)[-\frac{4}{3(4-x+3\sqrt{2-x})}-\frac{1}{3(x+5+3\sqrt{3+x})}-1]=0$ $\Leftrightarrow x^2+x-2=0$ $\Leftrightarrow x=1\vee x=-2$(vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm).Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Điều kiện phương trình $-3\leq x\leq2$. Kí hiệu $(*)$ là phương trình cần giải. Khi đó có$(*)\Leftrightarrow 4(\frac{x-4+3\sqrt{2-x}}{3})-\frac{x+5-3\sqrt{3+x}}{3}-(x^2+x-2)=0$ $\Leftrightarrow \frac{4(x^2+x-2)}{3(x-4-3\sqrt{2-x})}-\frac{x^2+x-2}{3(x+5+3\sqrt{3+x})}-(x^2+x-2)=0$ $\Leftrightarrow (x^2+x-2)[-\frac{4}{3(4-x+3\sqrt{2-x})}-\frac{1}{3(x+5+3\sqrt{3+x})}-1]=0$ $\Leftrightarrow x^2+x-2=0$ (vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm) $\Leftrightarrow x=1\vee x=-2$.Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Giả sử $a = \sqrt[3]{7x+1}, b = 2, c=\sqrt[3]{x^2-x-8}, d = \sqrt[3]{x^2-8x-1}$. Khi đó có $a-b=c-d$ (1).Cũng dễ nhận thấy $a^3 - b^3 = c^3 - d^3$ (2).Sử dụng $u^3 - v^3 = (u - v)^3 - 3uv(u - v)$ thì (2) được viết lại $(a-b)^3-3ab(a-b)=(c-d)^3-3cd(c-d)$ (4).Lại vì (1) nên từ (4) suy ra $a - b=0$ (5) hoặc $ab=cd$ (6).Trường hợp (5) xảy ra. Khi đó có$\sqrt[3]{7x+1}=1\Rightarrow x=0$.Trường hợp (6) xảy ra. Khi đó có$2\sqrt[3]{7x+1}=\sqrt[3]{x^2-x-8}\sqrt[3]{x^2-8x-1} \Rightarrow x^4-9x^3-x^2+9x=0$ $\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\pm1$ hoặc $x=9$.Thử trực tiếp các giá trị $x$ vừa tìm được vào phương trình ban đầu thì thấy chúng đều thỏa mãn.Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt, đó là $x=0$, hoặc $x=\pm1$, hoặc $x=9$.

Giả sử $a = \sqrt[3]{7x+1}, b = 2, c=\sqrt[3]{x^2-x-8}, d = \sqrt[3]{x^2-8x-1}$. Khi đó có $a-b=c-d$ (1).Cũng dễ nhận thấy $a^3 - b^3 = c^3 - d^3$ (2).Sử dụng $u^3 - v^3 = (u - v)^3 - 3uv(u - v)$ thì (2) được viết lại $(a-b)^3-3ab(a-b)=(c-d)^3-3cd(c-d)$ (4).Lại vì (1) nên từ (4) suy ra $a - b=0$ (5) hoặc $ab=cd$ (6).Trường hợp (5) xảy ra. Khi đó có $\sqrt[3]{7x+1}=1\Rightarrow x=0$.Trường hợp (6) xảy ra. Khi đó có$2\sqrt[3]{7x+1}=\sqrt[3]{x^2-x-8}\sqrt[3]{x^2-8x-1} \Rightarrow x^4-9x^3-x^2+9x=0$ $\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\pm1$ hoặc $x=9$.Thử trực tiếp các giá trị $x$ vừa tìm được vào phương trình ban đầu thì thấy chúng đều thỏa mãn.Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt, đó là $x=0$, hoặc $x=\pm1$, hoặc $x=9$.

Biến đổi và được $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{x+1}dx-\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx$.Chọn $u=\frac{1}{x+1}$ và $dv=e^xdx$. Suy ra $du=-\frac{1}{(x+1)^2}dx$ và $v=e^x$.Từ đó suy ra $I=(\frac{e^x}{x+1})^{1}_{0} +\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx-\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx=\frac{e}{2}-1$.

Biến đổi và được $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{x+1}dx-\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx$.Chọn $u=\frac{1}{x+1}$ và $dv=e^xdx$. Suy ra $du=-\frac{1}{(x+1)^2}dx$ và $v=e^x$.Từ đó suy ra $I=(\frac{e^x}{x+1})|^{1}_{0} +\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx-\int\limits_{0}^{1}\frac{e^x}{(x+1)^2}dx=\frac{e}{2}-1$.

Điều kiện của hệ là $x,y\geq -\frac{1}{3}$ và $xy\geq0$.Trường hợp $0\geq x,y\geq- \frac{1}{3}$. Khi đó có $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq 2<4$. Suy ra hệ vô nghiệm.Trường hợp $x,y\geq 0$. Vì $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ nên $2(x+y)-\sqrt{xy}\geq \frac{3(x+y)}{2}$; suy ra $3\geq \frac{3(x+y)}{2}$, hay $x+y\leq2$ (1).Vì $\sqrt{3x+1}\leq \frac{3x+5}{4}$ và $\sqrt{3y+1}\leq \frac{3y+5}{4}$ nên $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$; suy ra $4\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$, hay $x+y\geq2$ (2).Từ (1) và (2) cho thấy $x=y=1$. Và dễ dàng kiểm tra $(x;y)=(1;1)$ thỏa mãn hệ.

Điều kiện của hệ là $x,y\geq -\frac{1}{3}$ và $xy\geq0$.Trường hợp $0\geq x,y\geq- \frac{1}{3}$. Khi đó có $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq 2<4$. Suy ra hệ vô nghiệm.Trường hợp $x,y\geq 0$. Vì $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ nên $2(x+y)-\sqrt{xy}\geq \frac{3(x+y)}{2}$; suy ra $3\geq \frac{3(x+y)}{2}$, hay $x+y\leq2$ (1).Vì $\sqrt{3x+1}\leq \frac{3x+5}{4}$ và $\sqrt{3y+1}\leq \frac{3y+5}{4}$ nên $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$; suy ra $4\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$, hay $x+y\geq2$ (2).Từ (1) và (2) cho thấy $x=y=1$. Dễ dàng kiểm tra $(x;y)=(1;1)$ thỏa mãn hệ.Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất, đó là $(x;y)=(1;1)$. $\triangle$