a) Đường thẳng AB có vpcp \overrightarrow{AB}=(-4;3) nên có vtpt \overrightarrow{n}=(3;4)
Suy ra pt AB:\quad 3x+4y-12=0
Tập hợp các điểm cách AB một khoảng bằng 2 thuộc đường thẳng song song với AB nên đường thẳng đó có dạng:
3x+4y+c=0. Do khoảng cách bằng 2 nên khoảng cách từ A đến đường thẳng đó bằng 2 hay:
\dfrac{|3.4+4.0+c|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2\Leftrightarrow \dfrac{|12+c|}{5}=2
\Leftrightarrow |12+c|=10\Rightarrow c= -2 hoặc c=-22
Vậy tập hợp các điểm cách AB một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng 3x+4y-2=0 và 3x+4y-22=0
b) Chú ý: Véc tơ không thể nói nhỏ hơn hay lớn hơn nên không thể có giá trị nhỏ nhất, có lẽ câu hỏi ở đây là độ dài véc tơ. Nếu là độ dài véc tơ nhỏ nhất thì làm như sau:
Ta có: \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} với I là trung điểm AB. Khi đó |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}| nhỏ nhất khi \overrightarrow{MI} nhỏ nhất. Khi đó M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến đường thẳng d.
Ta có \begin{cases}x_{I}=\dfrac{4+0}{2}=2 \\ y_{I}=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2}\right)
Đường thẳng qua I và vuông góc với d nên có vtpt \overrightarrow{n}=(-3;1), do đó có pt:
-6x+2y+9=0
Điểm M có tọa độ là nghiệm của hệ \begin{cases}x+3y+1=0 \\ -6x+2y+9=0\end{cases}
Giải hệ được \begin{cases}x=\dfrac{5}{4}\\ y=-\dfrac{3}{4}\end{cases}. Vậy M\left(\dfrac{5}{4}; -\dfrac{3}{4}\right)