Ta có:
A=k3+m3+n3−3kmn=(k+m)3−3km(k+m)+n3−3kmn=(k+m)3+n3−3km(k+m+n)
=(k+m+n)[(k+m)2+n2−n(k+m)]−3km(k+m+n)
=(k+m+n)(k2+m2+n2−km−mn−kn)
Vì A là số nguyên tố nên k2+m2+n2−km−mn−kn=1 và k+m+n là số nguyên tố.
Ta có: k2+m2+n2−km−mn−kn=1⇔(k−m)2+(k−n)2+(m−n)2=2
Suy ra {k−m=1k−n=1m−n=0 (Giả sử k lớn nhất trong 3 số)
Suy ra k=3;m=n=2
Vì vai trò các số như nhau nên ta hoán vị chúng.
Vậy các cặp số k,m,n có thể là: (3;2;2),(2;3;2),(2;2;3)