Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt $t$ = ${\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^t}$ Phương trình đã cho được viết lại thành (**) và ta có các tương đương ${\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {2^t}.{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^t} = 1 + {4^t}\left( {**} \right) \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{2t}} + {2^t}.{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^t}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}$
$= {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {4^t}.{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}$
$\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{2t}} + {4^t} = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {4^t}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}.\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - {4^t}} \right)$
$= {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} - {4^t}$
$\Leftrightarrow \left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - {4^t}} \right)\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - 1} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {{{\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} \right)}^t} - 1} \right)\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = {2^0} = 1$
vậy x=1

$1$. Điều kiện $x \ge 2;y \ge 2$
Khi đó hệ tương đương $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y - 2} \right)}  = m\left( 1 \right)\\ x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  = m\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Trừ $(1)$ cho $(2)$, vế với vế ta được: $\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y - 2} \right)}  = \sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  \Leftrightarrow x = y$
Khi đó hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2}  = \sqrt m \left( 3 \right) \end{array} \right.$

Khi $m = 9$ thì $(3)$ có nghiệm $x = 3$ $\Rightarrow y = 3$
Vậy khi $m = 9$ thì hệ có nghiệm $(3, 3)$

$2$. Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2}$, khi đó $f\left( x \right) \ge \sqrt 3 ,\forall x \ge 2$ và $f\left( 2 \right) = \sqrt 3$
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} > 0,\forall x \ge 2 \Rightarrow f\left( x \right)$ tăng trên $\left[ {2; + \infty } \right]$
Do đó phương trình $\sqrt m  = f\left( x \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \sqrt m  \ge f\left( 2 \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow m \ge 3$

$a)$ Ta có : $sinx +2cosx-42\leq -39$ Do $-1\leq sinx\leq 1$ và $-1\leq cosx\leq 1$
TXĐ: $D = R$
Gọi $y_0$ là một giá trị của hàm số
$\Leftrightarrow y_0=\frac{cosx-sinx+1}{sinx+2cosx-42}$ có nghiệm
$\Leftrightarrow y_0(sinx+2cosx-42)=cosx-sinx+1$ có nghiệm
$\Leftrightarrow (y_0+1)sinx+(2y_0-1)cosx=4y_0+1$ có nghiệm
$\Leftrightarrow (y_0+1)^2+(2y_0-1)^2\geq (4y_0+1)^2$
$11y_0^2+10y_0-1\leq 0$
$\Leftrightarrow -1\leq y_0\leq 1/11$
$\Rightarrow$ Giá trị lớn nhất (GTLN) : $1/11$  giá trị nhỏ nhất (GTNN) : $-1$
$b)$ có: $2+cosx\geq 1$ Do $(-1\leq cosx\leq 1)$
TXĐ : $D=R$
Gọi $y_0$ là một giá trị của hàm số
$\Leftrightarrow y_0=\frac{3sinx}{2+cosx}$ có nghiệm
$\Leftrightarrow (2+cosx)y_0=3sinx$ có nghiệm
$\Leftrightarrow 3sinx-y_0cosx=2y_0$ có nghiệm
$\Leftrightarrow 3^2+(-y_0)^2\geq (2y_0)^2$
$\Leftrightarrow 3y_0^2\leq 9$
$\Leftrightarrow -\sqrt{3}\leq y_0\leq \sqrt{3}$
$\Rightarrow$ GTLN : $\sqrt{3}$ GTNN : $-\sqrt{3}$

Giải và biện luận theo tham số a các  bất phương trình sau:
a/ $\sqrt{ a+ \sqrt{ x}}+ \sqrt{ a- \sqrt{ x}} \leq 2.$
b/ $\sqrt{ x+a}- \sqrt{ \frac{ a^{2}}{x+a}}< \sqrt{ x+2a}$