Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh là $a,$ gọi $M$ là trung điểm $SD.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $B$ và $M$ song song với $AC$ cắt $SA,\,SC$ lần lượt tại $P,\,Q.$
    a) Trình bày cách vẽ thiết diện. Chứng minh rằng: thiết diện này có hai đường chéo vuông góc.
    b) Tìm điểm cách đều $S.ABCD$
    c) Xác định góc giữa mặt bên, cạnh bên với mặt đáy.
    d) Chứng minh rằng: $(SAC)\perp (SBD).$

Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai tiệm cận và cắt $(C):\,y=\frac{-3x^2-9x-5}{4x+4}$tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB$ là ngắn nhất?

Cho $a,\,b,\,c\neq0$ và thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\\ a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1 \end{array} \right.$. Tính giá trị biểu thức: $$A=\dfrac{1}{a^{2013}}+\dfrac{1}{b^{2013}}+\dfrac{1}{c^{2013}}$$

Cho $\ a,\,b,\,c>0$ và $\ abc=1$. Chứng minh rằng: $$\ \sqrt{9{a}^{2}+4}+\sqrt{9{b}^{2}+4}+\sqrt{9{c}^{2}+4}\leq \sqrt{13}\left(a+b+c \right)$$

Cho phương trình: $\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1=0\,\,\mbox{với $m$ là tham số}.$ 

Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số $m.$

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{a^3+2}+\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2}\leq1$$

Cho $x>2.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{x}{2}+\dfrac{8x^3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2}>9$$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,$ cạnh $a,$ $SA\perp(ABCD)$, $SA=a\sqrt{3},$ $B'$ và $D'$ là hình chiếu của $A$ lên $SB,\,SD,\,M$ là trung điểm của $BC,\,N$ là trung điểm $CD.$

    a) Chứng minh rằng: $SC\perp(AB'D')$

    b) Chứng minh rằng: $(SMN)\perp(SAC)$

    c) Xác định góc:

          $\bullet\,SB$ với $(SAC)$

          $\bullet\,(SAB)$ với $(SCD)$

Tính đạo hàm của: $$y=\dfrac{x-1}{\sqrt{3x^2+6x+7}}$$

Cho: $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}\,\,(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm có tung độ $y=\dfrac{11}{2}.$

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB,\,C$ là một điểm nằm giữa $A$ và $O,$ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $C$ cắt nửa đường tròn tại $I;\,K$ là một điểm nằm giữa $CI\,\,\,(K\not\equiv C,\,I),$ tia $AK$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $M,$ tia $BM$ cắt $CI$ tại $D.$ Chứng minh rằng:

   a) Tứ giác $ACMD$ là tứ giác nội tiếp.

   b) $\Delta ABD\sim \Delta MBC.$

   c) Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ nằm trên một đường thẳng cố định khi $K$ di động trên đoạn thẳng $CI.$

Giải bất phương trình: $$2\sqrt{1-\frac{2}{x}} + \sqrt{2x-\frac{8}{x}} \geq x$$

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $B,$ $AB =a,\,AA'= 2a,\,A'C= 3a$. Gọi $M$ là trung điểm $A'C',\,I$ là giao của $AM$ và $A'C.$ Tính góc giữa $AM$ và $( ABB'A' )$ và khoảng cách từ $A$ đến $( IBC )$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D,\,AB=2CD,$ $CD=AD,$ $SA\perp(ABCD),$ $SA=AB,$ $E$ là trung điểm $SB,\,F$ là giao điểm của $SC$ với $(ADE).$ Chứng minh:

    a) Các $\Delta SDC,\,\Delta FCB$ là các tam giác vuông.

    b) $(SBC)\perp(SAD)$

    c) $(SAC)\perp(SBC)$

    d) $(SBC)\perp(ADE)$

Cho em xin cái hình luôn ạ.

Cho hình chóp $S.ABC,\,\Delta ABC$ vuông tại $C,\,\Delta SAC$ đều và $(SAC)\perp(ABC).$

    a) Chứng minh: $(SBC)\perp(SAC)$

    b) $I$ là trung điểm $SC.$ Chứng minh: $(ABI)\perp(SBC)$