Cho ba số dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z\leq\dfrac{3}{2}.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$P=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$$

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Cho hai số thực không âm $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: $$S=\dfrac{y}{x+1}+\dfrac{x}{y+1}$$

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT cổ điển, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn.

Tìm $m$ để hàm số: $$y=\dfrac{mx+4}{x+m}$$ nghịch biến $\forall x\in(- \infty;\,1)$

Tìm $m$ để hàm số: $$y=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}\left(2m+1\right)x^2+(m^2+m)x$$ đồng biến $\forall x\in(1;\,2)$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho đường thẳng $\Delta :x-y=0.$ Đường tròn $(C)$ có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $\Delta$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=4\sqrt{2}.$ Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại một điểm thuộc tia $Oy.$ Viết phương trình đường tròn $(C).$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:2x+y+5=0$ và $A(-4;\,8).$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C,\,N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD.$ Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C,$ biết rằng $N(5;\,-4).$

Cho các số thực $a;\,b;\,c>0$ thỏa mãn điều kiện $(a+c)(b+c)=4c^2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{32a^3}{\left(b+3c\right)^3}+\dfrac{32b^3}{\left(a+3c\right)^3}-\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$$

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^4+2}=y \\x^2+2x\left(y-1\right)+y^2-6y+1=0 \end{cases}\,\,\,\left(x;\,y\in\mathbb{R}\right).$$

Giải phương trình: $$1+\tan x=2\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$$

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1 \\\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=\sqrt{6} \end{cases}$$

Cho $a,\,b,\,c\in \left[0;\,1\right].$ Chứng minh rằng: $$a+b+c\leq1+ab+bc+ca$$

Giải phương trình: $$\dfrac{2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)+2\sin2x}{\cos x}=4\cos4x$$

Giải phương trình: $$2\cos6x+2\cos4x-\sqrt{3}\cos2x=\sin2x+\sqrt{3}$$